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九州大学 1979年文系第4問解説

方針・初手

(1) は2つの放物線の共通接線を求める問題である。一方の放物線上の点における接線を求め、それがもう一方の放物線にも接する（判別式 $D=0$）とする方針か、それぞれの放物線の接線の方程式を求め、その係数を比較する方針が考えられる。
(2) は2つの放物線の交点を求め、積分区間を分けて定積分を計算する。放物線と接線の差の積分では、被積分関数が完全平方式になる性質を利用して計算を簡略化する。

解法1

(1)

放物線① $y = (x - 1)^2 + m$ について、微分すると $y' = 2(x - 1)$ である。

放物線①上の点 $(t, (t - 1)^2 + m)$ における接線の方程式は、

$$y - \{ (t - 1)^2 + m \} = 2(t - 1)(x - t)$$

$$y = 2(t - 1)x - t^2 + 1 + m$$

これが放物線② $y = (x + 1)^2 - m$ にも接する。

式を連立させて $y$ を消去すると、

$$(x + 1)^2 - m = 2(t - 1)x - t^2 + 1 + m$$

$$x^2 + 2x + 1 - m = 2(t - 1)x - t^2 + 1 + m$$

$$x^2 + 2(2 - t)x + t^2 - 2m = 0$$

この $x$ についての2次方程式が重解をもつので、判別式を $D$ とすると $D = 0$ である。

$$\frac{D}{4} = (2 - t)^2 - (t^2 - 2m) = 0$$

$$4 - 4t + t^2 - t^2 + 2m = 0$$

$$4t = 2m + 4$$

$$t = \frac{m}{2} + 1$$

これを接線の方程式に代入して、共通接線の方程式を求める。

$$y = 2 \left( \frac{m}{2} \right) x - \left( \frac{m}{2} + 1 \right)^2 + 1 + m$$

$$y = mx - \left( \frac{m^2}{4} + m + 1 \right) + 1 + m$$

$$y = mx - \frac{m^2}{4}$$

(2)

放物線①と放物線②の交点の $x$ 座標を求める。

$$(x - 1)^2 + m = (x + 1)^2 - m$$

$$x^2 - 2x + 1 + m = x^2 + 2x + 1 - m$$

$$4x = 2m$$

$$x = \frac{m}{2}$$

(1) の計算過程より、共通接線と放物線①の接点の $x$ 座標は $\frac{m}{2} + 1$ である。同様に、(1) で得られた接線の方程式と放物線②の式を連立したときの重解が、放物線②との接点の $x$ 座標となる。

$$x^2 + 2 \left\{ 2 - \left( \frac{m}{2} + 1 \right) \right\} x + \left( \frac{m}{2} + 1 \right)^2 - 2m = 0$$

$$x^2 - (m - 2)x + \frac{m^2}{4} - m + 1 = 0$$

$$\left( x - \frac{m - 2}{2} \right)^2 = 0$$

よって、放物線②との接点の $x$ 座標は $\frac{m}{2} - 1$ である。

これより、求める面積 $S$ の積分区間は $\frac{m}{2} - 1 \leqq x \leqq \frac{m}{2}$ と $\frac{m}{2} \leqq x \leqq \frac{m}{2} + 1$ に分割される。また、これらの区間において放物線はいずれも共通接線の上側にある。

$$\begin{aligned} S &= \int_{\frac{m}{2}-1}^{\frac{m}{2}} \left\{ (x + 1)^2 - m - \left( mx - \frac{m^2}{4} \right) \right\} dx \\ &\quad + \int_{\frac{m}{2}}^{\frac{m}{2}+1} \left\{ (x - 1)^2 + m - \left( mx - \frac{m^2}{4} \right) \right\} dx \end{aligned}$$

被積分関数はそれぞれ接点において接線と接する放物線の式から接線の式を引いたものであるため、完全平方式となる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{\frac{m}{2}-1}^{\frac{m}{2}} \left\{ x - \left( \frac{m}{2} - 1 \right) \right\}^2 dx + \int_{\frac{m}{2}}^{\frac{m}{2}+1} \left\{ x - \left( \frac{m}{2} + 1 \right) \right\}^2 dx \\ &= \left[ \frac{1}{3} \left\{ x - \left( \frac{m}{2} - 1 \right) \right\}^3 \right]_{\frac{m}{2}-1}^{\frac{m}{2}} + \left[ \frac{1}{3} \left\{ x - \left( \frac{m}{2} + 1 \right) \right\}^3 \right]_{\frac{m}{2}}^{\frac{m}{2}+1} \\ &= \frac{1}{3} (1)^3 - 0 + 0 - \frac{1}{3} (-1)^3 \\ &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

解法2

(1) の別解

放物線①、放物線②上のそれぞれの接点をおき、接線の方程式が一致することを利用する。

放物線①上の点 $(s, (s - 1)^2 + m)$ における接線の方程式は、

$$y = 2(s - 1)x - s^2 + 1 + m \quad \cdots \text{③}$$

放物線② $y = (x + 1)^2 - m$ について $y' = 2(x + 1)$ より、放物線②上の点 $(t, (t + 1)^2 - m)$ における接線の方程式は、

$$y - \{ (t + 1)^2 - m \} = 2(t + 1)(x - t)$$

$$y = 2(t + 1)x - t^2 + 1 - m \quad \cdots \text{④}$$

直線③と④が一致するための条件は、傾きと $y$ 切片がそれぞれ等しいことである。

$$\begin{cases} 2(s - 1) = 2(t + 1) \\ -s^2 + 1 + m = -t^2 + 1 - m \end{cases}$$

第1式から、

$$s - 1 = t + 1 \iff s - t = 2$$

第2式を整理すると、

$$s^2 - t^2 = 2m$$

$$(s - t)(s + t) = 2m$$

$s - t = 2$ を代入して、

$$2(s + t) = 2m \iff s + t = m$$

したがって、$s - t = 2$ と $s + t = m$ を連立して解くと、

$$s = \frac{m}{2} + 1, \quad t = \frac{m}{2} - 1$$

$s$ の値を③に代入して、求める共通接線の方程式は、

$$y = 2 \left( \frac{m}{2} \right) x - \left( \frac{m}{2} + 1 \right)^2 + 1 + m$$

$$y = mx - \frac{m^2}{4}$$

解説

共通接線および放物線と接線で囲まれた面積に関する標準的な問題である。

共通接線の求め方は、解法1の「一方の接線が他方に接する（判別式 $D=0$）」とする方法と、解法2の「それぞれの接線を求めて係数比較する」方法のどちらでも容易に計算できる。
$x^2$ の係数が等しい2つの放物線の共通接線に関する面積問題では、交点の $x$ 座標が2つの接点の $x$ 座標のちょうど中点になるという性質がある。
面積計算において $\int (x - \alpha)^2 dx = \frac{1}{3} (x - \alpha)^3 + C$ の積分公式を用いると、展開する手間が省け、計算ミスを大幅に減らすことができる。
なお、$x^2$ の係数が $a$ の放物線2つと共通接線で囲まれた面積は、2つの接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とすると $\frac{|a|}{12} (\beta - \alpha)^3$ となる事実を知っていれば、$\frac{1}{12} \left\{ \left( \frac{m}{2} + 1 \right) - \left( \frac{m}{2} - 1 \right) \right\}^3 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ となり、検算に活用できる。