名古屋大学 1983年 文系 第3問 解説

方針・初手

点 $P$ は曲線 $y = x^2$ ($x \geqq 0$) 上にあるので、その座標を $(t, t^2)$ ($t \geqq 0$) と設定する。点 $A$ と点 $P$ の距離 $AP$ を最小化する代わりに、距離の2乗 $AP^2$ を $t$ の関数として表し、その最小値を求めるのが計算上簡明である。 後半の面積については、求めた点 $P$ を用いて直線 $AP$ の方程式を求め、グラフの上下関係を把握してから定積分を計算する。

解法1

点 $P$ は曲線 $y = x^2$ ($x \geqq 0$) 上の点であるから、その座標を $(t, t^2)$ ($t \geqq 0$) とおくことができる。 定点 $A\left(0, \frac{3}{4}\right)$ と点 $P$ の距離の2乗を $f(t)$ とすると、

$$ f(t) = AP^2 = (t - 0)^2 + \left(t^2 - \frac{3}{4}\right)^2 $$

展開して整理すると、

$$ f(t) = t^2 + t^4 - \frac{3}{2}t^2 + \frac{9}{16} $$

$$ = t^4 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{9}{16} $$

この式を $t^2$ について平方完成すると、

$$ f(t) = \left(t^2 - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{16} + \frac{9}{16} $$

$$ = \left(t^2 - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{2} $$

$t \geqq 0$ より $t^2 \geqq 0$ である。 したがって、$f(t)$ は $t^2 = \frac{1}{4}$ すなわち $t = \frac{1}{2}$ のとき、最小値 $\frac{1}{2}$ をとる。 $AP$ が最小となるとき、$AP^2$ も最小となるから、求める点 $P$ の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ である。

次に、面積を求める。 点 $A\left(0, \frac{3}{4}\right)$ と点 $P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ を通る直線 $AP$ の方程式は、

$$ y - \frac{3}{4} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{2} - 0}(x - 0) $$

$$ y = -x + \frac{3}{4} $$

$0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ の範囲において、直線 $y = -x + \frac{3}{4}$ と曲線 $y = x^2$ の $y$ 座標の差を調べる。

$$ \left(-x + \frac{3}{4}\right) - x^2 = -\left(x^2 + x - \frac{3}{4}\right) $$

$$ = -\left(x + \frac{3}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right) $$

$0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ において、この式は $0$ 以上の値をとるため、直線 $AP$ は曲線 $y = x^2$ の上側（または交点）にある。 よって、求める面積 $S$ は、

$$ S = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( -x + \frac{3}{4} - x^2 \right) dx $$

$$ = \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{4}x \right]_{0}^{\frac{1}{2}} $$

$$ = -\frac{1}{3}\left(\frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\right) $$

$$ = -\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{3}{8} $$

$$ = \frac{-1 - 3 + 9}{24} $$

$$ = \frac{5}{24} $$

解法2

「曲線外の点から曲線上の点への距離が極小となる場合、その曲線上の点における法線は曲線外の点を通る」という図形的性質を用いる。

$y = x^2$ より $y' = 2x$ 曲線上の点 $P(t, t^2)$ ($t \geqq 0$) における接線の傾きは $2t$ である。

(i) $t = 0$ のとき

点 $P$ は原点 $(0, 0)$ であり、$A\left(0, \frac{3}{4}\right)$ との距離は $AP = \frac{3}{4}$ である。

(ii) $t > 0$ のとき

点 $P$ における法線の傾きは $-\frac{1}{2t}$ であるから、法線の方程式は、

$$ y - t^2 = -\frac{1}{2t}(x - t) $$

この法線が定点 $A\left(0, \frac{3}{4}\right)$ を通るので、

$$ \frac{3}{4} - t^2 = -\frac{1}{2t}(0 - t) $$

$$ \frac{3}{4} - t^2 = \frac{1}{2} $$

$$ t^2 = \frac{1}{4} $$

$t > 0$ より $t = \frac{1}{2}$ である。 このとき、点 $P$ の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ であり、$AP^2 = \left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ より、$AP = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

$\frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{3}{4}$ （$\frac{1}{2} < \frac{9}{16}$ より明らか）であるから、距離を最小にする点 $P$ の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ である。

（面積の計算は解法1と同様のため省略する）

解説

2点間の最短距離を求める際、無理関数となる距離そのものではなく、距離の2乗の関数を作って最小値を求めるのが基本的なアプローチである。本問では変数 $t$ の4次関数となるが、$t^2$ をひと塊として捉えれば実質的な2次関数であり、微分を使わず平方完成のみで処理できる。

解法2で示した「最短距離を与える点における法線は定点を通る」というアプローチも重要である。ただし、この性質は極小値を与える条件に過ぎないため、定義域の端点（本問では $t=0$）での距離と必ず比較する必要がある。

面積の計算部分は標準的な定積分である。積分区間における上下関係を式によって確実に調べたうえで計算を進めることが望ましい。

答え

点 $P$ の座標: $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ 面積: $\frac{5}{24}$