九州大学 1996年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1) 絶対値を含む関数の定積分 $\int_0^\beta |f(x)| dx$ を計算するためには、積分区間 $0 \leqq x \leqq \beta$ における被積分関数 $f(x)$ の符号変化を調べる必要がある。$f(x) = \frac{3}{\alpha\beta}(x-\alpha)(x-\beta)$ は $x = \alpha, \beta$ で符合が切り替わるため、$\alpha$ と $0$ の大小関係（つまり $\alpha$ の正負）によって、積分区間内に符号変化の境界が含まれるかどうかが変わる。問題文の条件 $\alpha \neq 0$ を踏まえ、$\alpha < 0$ と $\alpha > 0$ の場合分けを行う。

(2) (1) の結果を利用する。$\alpha = \beta^2$ かつ $\beta > 0$ のとき、$\alpha > 0$ であることが確定するため、(1) で求めた $\alpha > 0$ の場合の式に代入し、$\beta$ の関数として最小値を求める問題に帰着させる。このとき、条件 $\alpha \leqq \beta$ から $\beta$ の定義域が制限されることを見落とさないように注意する。

解法1

(1) $f(x) = \frac{3}{\alpha\beta}(x-\alpha)(x-\beta)$ について、積分区間 $0 \leqq x \leqq \beta$ における符号を考える。 条件 $\alpha \neq 0$, $\beta > 0$ より、$\alpha < 0$ と $\alpha > 0$ で場合分けを行う。

(i) $\alpha < 0$ のとき

$0 \leqq x \leqq \beta$ において、$x - \alpha > 0$ かつ $x - \beta \leqq 0$ であるから、$(x-\alpha)(x-\beta) \leqq 0$ である。 また、$\alpha < 0, \beta > 0$ より $\frac{3}{\alpha\beta} < 0$ であるから、常に $f(x) \geqq 0$ となる。 したがって、絶対値をそのまま外すことができ、

$$\int_0^\beta |f(x)| dx = \int_0^\beta f(x) dx = [F(x)]_0^\beta = F(\beta) - F(0)$$

ここで、$F(0) = \int_0^0 f(t) dt = 0$ であるから、

$$\int_0^\beta |f(x)| dx = F(\beta)$$

(ii) $\alpha > 0$ のとき

条件 $\alpha \leqq \beta$ より、$0 < \alpha \leqq \beta$ である。 また、$\frac{3}{\alpha\beta} > 0$ である。 $0 \leqq x \leqq \alpha$ のとき、$(x-\alpha)(x-\beta) \geqq 0$ より $f(x) \geqq 0$ である。 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ のとき、$(x-\alpha)(x-\beta) \leqq 0$ より $f(x) \leqq 0$ である。 したがって、積分区間を分割して絶対値を外すと、

$$\int_0^\beta |f(x)| dx = \int_0^\alpha f(x) dx + \int_\alpha^\beta \{-f(x)\} dx$$

$$= [F(x)]_0^\alpha - [F(x)]_\alpha^\beta$$

$$= (F(\alpha) - F(0)) - (F(\beta) - F(\alpha))$$

$$= 2F(\alpha) - F(\beta)$$

(2) $\alpha = \beta^2$ かつ $\beta > 0$ より $\alpha > 0$ である。 また、問題の条件 $\alpha \leqq \beta$ より $\beta^2 \leqq \beta$、すなわち $\beta(\beta-1) \leqq 0$ となる。 $\beta > 0$ と合わせると、$\beta$ のとりうる範囲は $0 < \beta \leqq 1$ である。

$\alpha > 0$ であるから、(1) の (ii) の結果より求める定積分は、

$$\int_0^\beta |f(x)| dx = 2F(\alpha) - F(\beta) = 2F(\beta^2) - F(\beta)$$

となる。ここで、$F(x)$ を具体的に計算する。

$$F(x) = \int_0^x \frac{3}{\alpha\beta}(t-\alpha)(t-\beta) dt$$

$$= \frac{3}{\alpha\beta} \int_0^x \{t^2 - (\alpha+\beta)t + \alpha\beta\} dt$$

$$= \frac{3}{\alpha\beta} \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{\alpha+\beta}{2}t^2 + \alpha\beta t \right]_0^x$$

$$= \frac{1}{\alpha\beta}x^3 - \frac{3(\alpha+\beta)}{2\alpha\beta}x^2 + 3x$$

これに $\alpha = \beta^2$ を代入すると、

$$F(x) = \frac{1}{\beta^3}x^3 - \frac{3(\beta^2+\beta)}{2\beta^3}x^2 + 3x = \frac{1}{\beta^3}x^3 - \frac{3(\beta+1)}{2\beta^2}x^2 + 3x$$

$F(\beta^2)$ と $F(\beta)$ をそれぞれ求める。

$$F(\beta^2) = \frac{1}{\beta^3}(\beta^2)^3 - \frac{3(\beta+1)}{2\beta^2}(\beta^2)^2 + 3\beta^2$$

$$= \beta^3 - \frac{3}{2}(\beta+1)\beta^2 + 3\beta^2 = -\frac{1}{2}\beta^3 + \frac{3}{2}\beta^2$$

$$F(\beta) = \frac{1}{\beta^3}\beta^3 - \frac{3(\beta+1)}{2\beta^2}\beta^2 + 3\beta$$

$$= 1 - \frac{3}{2}(\beta+1) + 3\beta = \frac{3}{2}\beta - \frac{1}{2}$$

これらを代入して、求める積分値を $g(\beta)$ とおくと、

$$g(\beta) = 2 \left( -\frac{1}{2}\beta^3 + \frac{3}{2}\beta^2 \right) - \left( \frac{3}{2}\beta - \frac{1}{2} \right) = -\beta^3 + 3\beta^2 - \frac{3}{2}\beta + \frac{1}{2}$$

となる。$g(\beta)$ を微分すると、

$$g'(\beta) = -3\beta^2 + 6\beta - \frac{3}{2} = -3 \left( \beta^2 - 2\beta + \frac{1}{2} \right)$$

$g'(\beta) = 0$ となる $\beta$ は、$\beta^2 - 2\beta + \frac{1}{2} = 0$ を解いて、

$$\beta = \frac{2 \pm \sqrt{4-2}}{2} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

定義域 $0 < \beta \leqq 1$ の範囲において $g'(\beta) = 0$ となるのは $\beta = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ のみである。増減表は以下のようになる。

したがって、$g(\beta)$ を最小にする $\beta$ は $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

解説

(1) 絶対値を含む定積分は、積分区間における被積分関数の符号変化で場合分けするのが鉄則である。本問では、$x=\alpha$ の位置が積分区間 $0 \leqq x \leqq \beta$ の内か外か（すなわち $\alpha$ の正負）で場合分けを行うことで正しく計算できる。 (2) 与えられた条件 $\alpha \leqq \beta$ から定義域 $0 < \beta \leqq 1$ を適切に導出できるかが鍵となる。この条件を見落とすと、増減表が正しく書けず、誤った極値や結論に至る可能性が高い。また、積分関数 $F(x)$ を求めてから代入する順番を整理することで、文字式の計算量を抑え、計算ミスを防ぐことができる。

答え

(1) $\alpha < 0$ のとき $F(\beta)$、$\alpha > 0$ のとき $2F(\alpha) - F(\beta)$ (2) $\beta = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$