九州大学 1985年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1)では、2つの放物線の交点の座標を求め、位置関係を把握して概形を描きます。(2)は、(1)で求めた区間において、上側の曲線の2乗から下側の曲線の2乗を引いたものを定積分して回転体の体積を求めます。計算の際、被積分関数を展開してから積分するよりも、一次式の合成関数の積分公式 $(x-c)^n$ を用いると計算量が減ります。

解法1

(1)

2つの曲線 $y=x^2$ と $y=a^2\left(x-\frac{1}{a}\right)^2$ の交点の $x$ 座標を求める。

$$x^2 = a^2\left(x-\frac{1}{a}\right)^2$$

両辺の平方根をとると、

$$x = \pm a\left(x-\frac{1}{a}\right)$$

すなわち、$x = ax-1$ または $x = -ax+1$ となる。

($x = ax-1$ のとき)

$$(1-a)x = -1$$

$0 < a < 1$ より $1-a \neq 0$ であるから、

$$x = -\frac{1}{1-a}$$

($x = -ax+1$ のとき)

$$(1+a)x = 1$$

$0 < a < 1$ より $1+a \neq 0$ であるから、

$$x = \frac{1}{1+a}$$

交点の $x$ 座標を $\alpha = \frac{1}{1+a}$、$\beta = -\frac{1}{1-a}$ とおく。$0 < a < 1$ より、

$$-\frac{1}{1-a} < 0 < \frac{1}{1+a} < 1 < \frac{1}{a}$$

が成り立つ。したがって、$\beta < 0 < \alpha < \frac{1}{a}$ である。

区間 $\beta \leqq x \leqq \alpha$ において、$x=0$ を代入すると、

$$0^2 = 0 < a^2\left(-\frac{1}{a}\right)^2 = 1$$

となるため、この区間では $y = a^2\left(x-\frac{1}{a}\right)^2$ が $y=x^2$ の上側にある。

以上の情報から、2つの曲線の概形と囲む部分（斜線部分）は次のような特徴を持つ図となる（実際の図示は省略するが、作図の際は以下を反映する）。

• 曲線 $y=x^2$ は原点を頂点とする下に凸の放物線。
• 曲線 $y=a^2\left(x-\frac{1}{a}\right)^2$ は点 $\left(\frac{1}{a}, 0\right)$ を頂点とする下に凸の放物線で、$y$ 軸との交点は $(0, 1)$。
• 2曲線の交点は第2象限の $\left( -\frac{1}{1-a}, \frac{1}{(1-a)^2} \right)$ と、第1象限の $\left( \frac{1}{1+a}, \frac{1}{(1+a)^2} \right)$。
• 斜線部分は、区間 $-\frac{1}{1-a} \leqq x \leqq \frac{1}{1+a}$ において、これら2曲線に挟まれた領域である。

(2)

(1)の領域を $x$ 軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積 $V_a$ は、

$$V_a = \pi \int_{\beta}^{\alpha} \left[ \left\{ a^2 \left( x - \frac{1}{a} \right)^2 \right\}^2 - (x^2)^2 \right] dx$$

$$V_a = \pi \int_{\beta}^{\alpha} \left\{ a^4 \left( x - \frac{1}{a} \right)^4 - x^4 \right\} dx$$

積分を実行すると、

$$V_a = \pi \left[ \frac{a^4}{5} \left( x - \frac{1}{a} \right)^5 - \frac{x^5}{5} \right]_{\beta}^{\alpha}$$

$$V_a = \frac{\pi}{5} \left\{ a^4 \left( \alpha - \frac{1}{a} \right)^5 - \alpha^5 - a^4 \left( \beta - \frac{1}{a} \right)^5 + \beta^5 \right\}$$

ここで、$\alpha = \frac{1}{1+a}$、$\beta = -\frac{1}{1-a}$ より、

$$\alpha - \frac{1}{a} = \frac{1}{1+a} - \frac{1}{a} = \frac{a - (1+a)}{a(1+a)} = -\frac{1}{a(1+a)} = -\frac{\alpha}{a}$$

$$\beta - \frac{1}{a} = -\frac{1}{1-a} - \frac{1}{a} = \frac{-a - (1-a)}{a(1-a)} = \frac{-1}{a(1-a)} = \frac{\beta}{a}$$

となる。これらを体積の式の一部に代入して整理する。

$$\begin{aligned} a^4 \left( \alpha - \frac{1}{a} \right)^5 - \alpha^5 &= a^4 \left( -\frac{\alpha}{a} \right)^5 - \alpha^5 \\ &= -\frac{\alpha^5}{a} - \alpha^5 \\ &= -\alpha^5 \left( \frac{1}{a} + 1 \right) \\ &= -\left( \frac{1}{1+a} \right)^5 \frac{1+a}{a} \\ &= -\frac{1}{a(1+a)^4} \end{aligned}$$

同様に、

$$\begin{aligned} a^4 \left( \beta - \frac{1}{a} \right)^5 - \beta^5 &= a^4 \left( \frac{\beta}{a} \right)^5 - \beta^5 \\ &= \frac{\beta^5}{a} - \beta^5 \\ &= \beta^5 \left( \frac{1}{a} - 1 \right) \\ &= \left( -\frac{1}{1-a} \right)^5 \frac{1-a}{a} \\ &= -\frac{1}{a(1-a)^4} \end{aligned}$$

これらを $V_a$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} V_a &= \frac{\pi}{5} \left\{ -\frac{1}{a(1+a)^4} - \left( -\frac{1}{a(1-a)^4} \right) \right\} \\ &= \frac{\pi}{5a} \left\{ \frac{1}{(1-a)^4} - \frac{1}{(1+a)^4} \right\} \\ &= \frac{\pi}{5a} \frac{(1+a)^4 - (1-a)^4}{(1-a)^4(1+a)^4} \\ &= \frac{\pi}{5a} \frac{(1+a)^4 - (1-a)^4}{(1-a^2)^4} \end{aligned}$$

分子を展開して整理すると、

$$(1+a)^4 - (1-a)^4 = (1 + 4a + 6a^2 + 4a^3 + a^4) - (1 - 4a + 6a^2 - 4a^3 + a^4) = 8a + 8a^3 = 8a(1+a^2)$$

したがって、体積 $V_a$ は、

$$V_a = \frac{\pi}{5a} \cdot \frac{8a(1+a^2)}{(1-a^2)^4} = \frac{8\pi(1+a^2)}{5(1-a^2)^4}$$

次に、$V_a$ の極限を求める。

$$\lim_{a \to 0} V_a = \lim_{a \to 0} \frac{8\pi(1+a^2)}{5(1-a^2)^4} = \frac{8\pi(1+0)}{5(1-0)} = \frac{8\pi}{5}$$

解説

(2)の体積計算では、被積分関数をすべて展開してから積分すると計算量が増え、ミスを誘発しやすくなります。そのままの形で積分し、代入時に式の形を工夫することで計算の負担を大幅に減らすことができます。特に、$x$座標の定義式を用いて、式をシンプルな形に置き換えていく処理は微積分の計算において非常に有用です。

答え

(1) 図示は省略。曲線 $y=x^2$ と $y=a^2\left(x-\frac{1}{a}\right)^2$ に囲まれた領域である。 (2) $V_a = \frac{8\pi(1+a^2)}{5(1-a^2)^4}$, $\lim_{a \to 0} V_a = \frac{8\pi}{5}$