九州大学 1988年 文系 第1問 解説

方針・初手

放物線上の点における接線と法線の方程式を求め、座標軸との交点 $X$, $Y$ の座標を決定する。 得られた座標から各ベクトルを成分表示で表す。 行列 $A$ を求める際は、成分を文字でおいて連立1次方程式として解くこともできるが、関係式を行列の積 $A(\vec{u} \ \vec{v}) = (A\vec{u} \ A\vec{v})$ の形にまとめ、逆行列を利用して計算すると見通しが良い。

解法1

(1)

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ を微分すると、$y' = x$ となる。 したがって、点 $P\left(p, \frac{1}{2}p^2\right)$ における接線の傾きは $p$ である。 接線の方程式は、

$$y - \frac{1}{2}p^2 = p(x - p)$$

$$y = px - \frac{1}{2}p^2$$

点 $X$ はこの接線と $x$ 軸の交点であるから、$y = 0$ を代入して、

$$0 = px - \frac{1}{2}p^2$$

$p \neq 0$ より、$x = \frac{1}{2}p$ となる。 よって、点 $X$ の座標は $X\left(\frac{1}{2}p, 0\right)$ である。

次に、点 $P$ における法線は、接線に垂直であり、その傾きは $-\frac{1}{p}$ である。 法線の方程式は、

$$y - \frac{1}{2}p^2 = -\frac{1}{p}(x - p)$$

$$y = -\frac{1}{p}x + 1 + \frac{1}{2}p^2$$

点 $Y$ はこの法線と $y$ 軸の交点であるから、$x = 0$ を代入して、$y = 1 + \frac{1}{2}p^2$ となる。 よって、点 $Y$ の座標は $Y\left(0, 1 + \frac{1}{2}p^2\right)$ である。

以上より、ベクトル $\overrightarrow{PX}$ と $\overrightarrow{PY}$ の成分は次のように求められる。

$$\begin{aligned} \overrightarrow{PX} &= \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OP} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}p \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} p \\ \frac{1}{2}p^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}p \\ -\frac{1}{2}p^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \overrightarrow{PY} &= \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OP} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 + \frac{1}{2}p^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} p \\ \frac{1}{2}p^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -p \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(2)

行列 $A$ が満たすべき条件は、$A\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{PX}$ および $A\overrightarrow{OY} = \overrightarrow{PY}$ である。 これらを行列の積の形でまとめると、次のようになる。

$$A \begin{pmatrix} \overrightarrow{OX} & \overrightarrow{OY} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \overrightarrow{PX} & \overrightarrow{PY} \end{pmatrix}$$

ここで、

$$\begin{pmatrix} \overrightarrow{OX} & \overrightarrow{OY} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}p & 0 \\ 0 & 1 + \frac{1}{2}p^2 \end{pmatrix}$$

この行列は対角行列であり、その行列式は $\frac{1}{2}p \left(1 + \frac{1}{2}p^2\right)$ である。 $p \neq 0$ かつ $1 + \frac{1}{2}p^2 > 0$ であるから、行列式の値は $0$ ではない。 したがって逆行列が存在し、次のように表される。

$$\begin{pmatrix} \overrightarrow{OX} & \overrightarrow{OY} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{p} & 0 \\ 0 & \frac{2}{p^2 + 2} \end{pmatrix}$$

これを用いて、行列 $A$ を求める。

$$\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} \overrightarrow{PX} & \overrightarrow{PY} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overrightarrow{OX} & \overrightarrow{OY} \end{pmatrix}^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}p & -p \\ -\frac{1}{2}p^2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{p} & 0 \\ 0 & \frac{2}{p^2 + 2} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}p \cdot \frac{2}{p} & -p \cdot \frac{2}{p^2 + 2} \\ -\frac{1}{2}p^2 \cdot \frac{2}{p} & 1 \cdot \frac{2}{p^2 + 2} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & -\frac{2p}{p^2 + 2} \\ -p & \frac{2}{p^2 + 2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

解説

微分の基礎知識を用いて接線と法線の方程式を立て、交点の座標からベクトルを導出する標準的な問題である。 (2) において行列 $A$ を求める際、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とおいて4つの文字に関する連立方程式を解く方針でも正答に辿り着けるが、逆行列を用いた計算の方が圧倒的に計算量が少なく、ミスを防ぎやすい。 特に、行列 $\begin{pmatrix} \overrightarrow{OX} & \overrightarrow{OY} \end{pmatrix}$ が対角行列になることで、逆行列の計算が非常に容易になっている点がこの解法の強みである。

答え

(1)

$$\overrightarrow{PX} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}p \\ -\frac{1}{2}p^2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{PY} = \begin{pmatrix} -p \\ 1 \end{pmatrix}$$

(2)

$$A = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{2p}{p^2 + 2} \\ -p & \frac{2}{p^2 + 2} \end{pmatrix}$$