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九州大学 1988年文系第2問解説

方針・初手

与えられたベクトルの内積の条件式から、点 $P$ の満たすべき図形の方程式（ベクトル方程式）を導く。空間ベクトルにおいて、特定のベクトルとの内積が $0$ になる点の集合は平面となり、2定点へ向かうベクトルの内積が $0$ になる点の集合は球面となる事実を利用する。問題文の条件を始点を $O$ または適当な点にそろえて変形していくことが定石である。

解法1

(1)

点 $Q$ と点 $A$ が一致するとき、問題で与えられた条件 $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ の $Q$ を $A$ に置き換えると、次の式が成り立つ。

$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$$

点 $O$ と点 $A$ は異なる2点であるから、$\overrightarrow{OA} \neq \vec{0}$ である。

したがって、ベクトル $\overrightarrow{PA}$ とベクトル $\overrightarrow{OA}$ は垂直であるか、または $\overrightarrow{PA} = \vec{0}$ （すなわち点 $P$ が点 $A$ と一致する）である。

これは、点 $P$ と点 $A$ を結ぶ直線が直線 $OA$ と垂直に交わるか、点 $P$ が点 $A$ 自身であることを意味する。

空間内において、定点を通る定ベクトルに垂直な点の集合は平面となる。ゆえに、点 $P$ が描く図形は、点 $A$ を通り、直線 $OA$ に垂直な平面である。

(2)

点 $Q$ は直線 $OA$ 上の点であるから、実数 $k$ を用いて次のように表すことができる。

$$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OA}$$

条件 $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ について、$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$ と変形して代入すると、

$$(\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}) \cdot \overrightarrow{OA} = 0$$

展開して整理すると、

$$\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA}$$

が成り立つ。

一方、問題で与えられた条件式は $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OP}$ である。$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OP} = |\overrightarrow{OP}|^2$ であり、先ほど導いた関係式を用いると、

$$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = |\overrightarrow{OP}|^2$$

となる。この式を移行して整理する。

$$|\overrightarrow{OP}|^2 - \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$$

$$\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) = 0$$

ここで、$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AP}$ であるから、

$$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AP} = 0$$

が得られる。

この式は、ベクトル $\overrightarrow{OP}$ とベクトル $\overrightarrow{AP}$ が垂直であるか、または点 $P$ が点 $O$ か点 $A$ に一致することを示している。

空間内において、異なる2定点を見込む角が直角になるような点の集合は、その2定点を結ぶ線分を直径とする球面である。

ゆえに、点 $P$ が描く図形は、線分 $OA$ を直径とする球面である。

解説

空間ベクトルにおける図形の方程式の基本定理を確認する問題である。平面のベクトル方程式 $\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$ と、球面のベクトル方程式 $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$ の形を正確に把握し、与えられた条件式をその形に帰着させることが目標となる。 (2)において $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ を用いて $\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}$ を $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA}$ にすり替える操作は、点 $Q$ が点 $P$ の直線 $OA$ への正射影であることを数式上で表現したものである。