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九州大学 1989年文系第1問解説

方針・初手

ベクトルの大きさの最小値を求める問題では、大きさが $0$ 以上であることから、その $2$ 乗の最小値を考えるのが定石である。$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = a$ と内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = a^2\cos\theta$ を用いて展開し、$t$ の $2$ 次関数として平方完成を行う。

後半では、前半で求めた $t$ を代入したベクトル $\overrightarrow{OB'}$ の幾何学的な意味（$\overrightarrow{OA}$ との直交関係など）を調べる。また、与えられた長さの条件 $|\overrightarrow{AB}| \leqq a$ をベクトルの内積計算によって $\theta$ の条件に翻訳し、点の動く範囲を特定する。

解法1

(1)

点 $A, B$ は点 $O$ を中心とする半径 $a$ の球面上にあるので、

$$|\overrightarrow{OA}| = a, \quad |\overrightarrow{OB}| = a$$

である。また、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角は $\theta$ であるから、その内積は

$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos\theta = a^2 \cos\theta$$

と表される。ベクトル $\overrightarrow{OB} - t\overrightarrow{OA}$ の大きさの $2$ 乗を考えると、

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{OB} - t\overrightarrow{OA}|^2 &= |\overrightarrow{OB}|^2 - 2t \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + t^2 |\overrightarrow{OA}|^2 \\ &= a^2 - 2ta^2 \cos\theta + t^2 a^2 \\ &= a^2(t^2 - 2t\cos\theta + 1) \\ &= a^2 \{(t - \cos\theta)^2 + 1 - \cos^2\theta\} \\ &= a^2(t - \cos\theta)^2 + a^2 \sin^2\theta \end{aligned}$$

となる。$a > 0$ であるから、この値は $t = \cos\theta$ のときに最小値 $a^2 \sin^2\theta$ をとる。

$|\overrightarrow{OB} - t\overrightarrow{OA}| \geqq 0$ であるため、大きさの $2$ 乗が最小となるとき、大きさそのものも最小となる。したがって、求める $t$ は $t = \cos\theta$ であり、このときのベクトルの大きさは

$$\sqrt{a^2 \sin^2\theta} = a |\sin\theta|$$

である。ここで、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ より $\sin\theta \geqq 0$ であるから、最小となるベクトルの大きさは $a \sin\theta$ となる。

(2)

(1) の結果より $t = \cos\theta$ であるから、

$$\overrightarrow{OB'} = \overrightarrow{OB} - (\cos\theta)\overrightarrow{OA}$$

である。このベクトルと $\overrightarrow{OA}$ の内積をとると、

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OB'} \cdot \overrightarrow{OA} &= \left( \overrightarrow{OB} - (\cos\theta)\overrightarrow{OA} \right) \cdot \overrightarrow{OA} \\ &= \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} - (\cos\theta) |\overrightarrow{OA}|^2 \\ &= a^2\cos\theta - (\cos\theta)a^2 \\ &= 0 \end{aligned}$$

となる。したがって、点 $B'$ は点 $O$ を通り直線 $OA$ に垂直な平面上にある。

また、(1) で求めたように $|\overrightarrow{OB'}| = a\sin\theta$ である。

次に、条件 $|\overrightarrow{AB}| \leqq a$ について考える。両辺を $2$ 乗すると $|\overrightarrow{AB}|^2 \leqq a^2$ であり、

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{AB}|^2 &= |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}|^2 \\ &= |\overrightarrow{OB}|^2 - 2 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OA}|^2 \\ &= a^2 - 2a^2 \cos\theta + a^2 \\ &= 2a^2(1 - \cos\theta) \end{aligned}$$

となるから、

$$2a^2(1 - \cos\theta) \leqq a^2$$

$$1 - \cos\theta \leqq \frac{1}{2}$$

$$\cos\theta \geqq \frac{1}{2}$$

を得る。$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ であるから、この条件を満たす $\theta$ の範囲は $0^\circ \leqq \theta \leqq 60^\circ$ である。

点 $B$ は、直線 $OA$ に対して角度 $\theta$ をなす球面上の点をすべてとりうるため、直線 $OA$ を軸として回転対称に動くことができる。したがって、$\overrightarrow{OB'}$ は点 $O$ を通り直線 $OA$ に垂直な平面上で全方向をとりうる。

$0^\circ \leqq \theta \leqq 60^\circ$ において $\sin\theta$ のとりうる値の範囲は $0 \leqq \sin\theta \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、点 $O$ から点 $B'$ までの距離 $|\overrightarrow{OB'}|$ は

$$0 \leqq |\overrightarrow{OB'}| \leqq \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

の範囲を動く。以上より、点 $B'$ が描く図形は、点 $O$ を通り直線 $OA$ に垂直な平面上にある、点 $O$ を中心とする半径 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ の円の周および内部である。

解説

(1) で設定された $\overrightarrow{OB} - t\overrightarrow{OA}$ は、点 $B$ から直線 $OA$ 上の点に下ろしたベクトルを表している。この大きさが最小になるのは、ベクトルが直線 $OA$ と直交するときであり、点 $B'$ は点 $B$ から直線 $OA$ に下ろした垂線の足である点（$(\cos\theta)\overrightarrow{OA}$）を原点 $O$ に平行移動させたものと解釈できる。図形的な意味を把握できると、内積計算での $\overrightarrow{OB'} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ が当然の結果として予想できるため、計算ミスを防ぎやすくなる。

(2) では不等式条件を角度 $\theta$ の範囲に帰着させることがポイントである。点 $B'$ が「円周」だけでなく「内部」も動くことに注意して、軌跡の表現を正確にまとめることが求められる。