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九州大学 1989年文系第3問解説

方針・初手

(1) $g(x)$ を1次式 $ax+b$ とおき、$f(x)-g(x)$ と $(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$ の展開式の各次数の係数を比較する。

(2) 関数 $y=f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めて増減表を作成し、グラフの形状を把握する。さらに $f(x)-g(x) \ge 0$ であることを利用して、直線との位置関係を明らかにする。

(3) 求める面積は $\int_{-2}^{1} \{f(x)-g(x)\} dx$ で計算できる。被積分関数が $(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$ の形になることを活用し、積分計算を工夫する。

解法1

(1)

$g(x)$ は1次式であるから、$g(x) = ax+b$ （$a, b$ は実数）とおく。

$$f(x) - g(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - ax - b$$

一方で、与えられた条件より以下の式が成り立つ。

$$\begin{aligned} f(x) - g(x) &= (x-\alpha)^2(x-\beta)^2 \\ &= \{(x-\alpha)(x-\beta)\}^2 \\ &= \{x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta\}^2 \\ &= x^4 - 2(\alpha+\beta)x^3 + \{(\alpha+\beta)^2 + 2\alpha\beta\}x^2 - 2\alpha\beta(\alpha+\beta)x + \alpha^2\beta^2 \end{aligned}$$

2つの式は $x$ についての恒等式であるから、同じ次数の項の係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} -2(\alpha+\beta) = 2 \\ (\alpha+\beta)^2 + 2\alpha\beta = -3 \\ -2\alpha\beta(\alpha+\beta) = -a \\ \alpha^2\beta^2 = -b \end{cases}$$

第1式より、$\alpha+\beta = -1$ である。これを第2式に代入する。

$$(-1)^2 + 2\alpha\beta = -3$$

$$2\alpha\beta = -4$$

$$\alpha\beta = -2$$

これより、$\alpha, \beta$ は $t$ についての2次方程式 $t^2 - (\alpha+\beta)t + \alpha\beta = 0$、すなわち $t^2 + t - 2 = 0$ の2つの解である。

$$(t+2)(t-1) = 0$$

これを解くと $t = -2, 1$ となる。$\alpha < \beta$ の条件から、$\alpha = -2, \beta = 1$ と定まる。

続いて、残りの式を用いて $a, b$ を求める。

$$-a = -2 \cdot (-2) \cdot (-1) = -4$$

$$a = 4$$

$$-b = (-2)^2 = 4$$

$$b = -4$$

したがって、$g(x) = 4x - 4$ である。

(2)

$f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2$ を微分する。

$$f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x = 2x(2x^2 + 3x - 3)$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = 0$ および $2x^2 + 3x - 3 = 0$ の解である。二次方程式の解の公式より以下の値を得る。

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{4}$$

ここで、$\gamma = \frac{-3 - \sqrt{33}}{4}, \delta = \frac{-3 + \sqrt{33}}{4}$ とおくと、$\gamma < 0 < \delta$ である。 $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$\gamma$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\delta$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	極小	$\nearrow$

極大値は $f(0) = 0$ である。（極小値は指示に従い求めない）

次に、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の位置関係を調べる。(1)の結果より以下の等式が成り立つ。

$$f(x) - g(x) = (x+2)^2(x-1)^2$$

すべての実数 $x$ において $(x+2)^2(x-1)^2 \ge 0$ であるため、常に $f(x) \ge g(x)$ が成り立つ。等号が成立するのは $x = -2, 1$ のときのみである。このとき、それぞれの関数値は $g(-2) = -12, g(1) = 0$ である。

したがって、曲線 $y=f(x)$ は直線 $y=g(x)$ の上側にあり、2点 $(-2, -12)$ および $(1, 0)$ において直線に接する。概形はこれらの接点を通り、増減表に従って波打つような形状となる。

(3)

求める面積を $S$ とする。$-2 \le x \le 1$ において $f(x) \ge g(x)$ であるから、面積は以下の定積分で計算できる。

$$S = \int_{-2}^{1} \{ f(x) - g(x) \} dx$$

$$S = \int_{-2}^{1} (x+2)^2(x-1)^2 dx$$

ここで、被積分関数を展開して計算を簡略化するため、$x-1 = (x+2) - 3$ と変形する。

$$\begin{aligned} (x+2)^2(x-1)^2 &= (x+2)^2 \{(x+2) - 3\}^2 \\ &= (x+2)^2 \{(x+2)^2 - 6(x+2) + 9\} \\ &= (x+2)^4 - 6(x+2)^3 + 9(x+2)^2 \end{aligned}$$

これを積分に代入する。

$$S = \int_{-2}^{1} \{ (x+2)^4 - 6(x+2)^3 + 9(x+2)^2 \} dx$$

$$S = \left[ \frac{1}{5}(x+2)^5 - \frac{6}{4}(x+2)^4 + \frac{9}{3}(x+2)^3 \right]_{-2}^{1}$$

$x = -2$ を代入するとすべての項が $0$ になるため、$x = 1$ のときの値のみ計算すればよい。

$$S = \frac{1}{5} \cdot 3^5 - \frac{3}{2} \cdot 3^4 + 3 \cdot 3^3$$

$3^3 = 27$ でくくる。

$$S = 27 \left( \frac{9}{5} - \frac{9}{2} + 3 \right)$$

かっこの中を通分する。

$$S = 27 \left( \frac{18 - 45 + 30}{10} \right)$$

$$S = 27 \cdot \frac{3}{10} = \frac{81}{10}$$

解説

(1) について、4次曲線が直線と2点で接するとき、「二重接線」と呼ばれる。(1)のような恒等式の係数比較で接点の $x$ 座標や接線の方程式を容易に求めることができる。

(3) の面積計算において、$(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$ の積分が現れる。これをそのまま展開すると計算が煩雑になりミスを誘発しやすいため、解法に示したように $x-\alpha = (x-\beta) + (\beta-\alpha)$ の形に変形してから展開する手法（平行移動の考え方）が非常に有効である。また、この形の定積分については $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx = \frac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$ という公式を知っていれば、$m=2, n=2$ を代入して $\frac{2!2!}{5!}(1 - (-2))^5 = \frac{4}{120} \cdot 3^5 = \frac{81}{10}$ と即座に検算することが可能である。