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名古屋大学 1989年文系第1問解説

方針・初手

(1) は極値をとる $x$ の値が与えられていることから、導関数 $f'(x)$ の形を決定して積分するか、$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ とおいて連立方程式を解くことで関数を求める。(2) は解の大小関係を比較する問題である。$\alpha < \beta$ を直接示すのは難しいため、関数 $f(x)$ の単調性を利用して $f(-\alpha)$ と $f(-\beta)$ の大小関係に帰着させるか、$\alpha, \beta$ が方程式の解であることを用いて代数的に証明する。

解法1

(1)

$f(x)$ は $x$ の3次式であり、$x=0$ で極値をとるから $f'(0)=0$、$x=1$ で極値をとるから $f'(1)=0$ である。したがって、$f'(x)$ は2次式であり、定数 $a \neq 0$ を用いて

$$ f'(x) = ax(x-1) = a(x^2 - x) $$

とおける。これを積分すると、積分定数 $C$ を用いて

$$ f(x) = a \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right) + C $$

となる。 $x=0$ で極大値 $3$ をとるから $f(0) = 3$ より

$$ C = 3 $$

$x=1$ で極小値 $-1$ をとるから $f(1) = -1$ より

$$ a \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) + 3 = -1 $$

$$ -\frac{1}{6}a = -4 $$

$$ a = 24 $$

したがって

$$ f(x) = 24 \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right) + 3 = 8x^3 - 12x^2 + 3 $$

このとき、$f'(x) = 24x(x-1)$ となり、$x^2$ の係数が正であるから、増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$

増減表より、確かに $x=0$ で極大値 $3$、$x=1$ で極小値 $-1$ をとる。以上より求める関数は

$$ f(x) = 8x^3 - 12x^2 + 3 $$

であり、そのグラフの概形は点 $(0, 3)$ を極大点かつ $y$ 切片とし、点 $(1, -1)$ を極小点とする、右上がりの3次関数の曲線となる。

(2)

(1) のグラフの概形と $f(0)=3>0, f(1)=-1<0$ であることから、$f(x)=0$ は $x<0$ の範囲、 $0<x<1$ の範囲、 $x>1$ の範囲にそれぞれ1つずつ実数解をもつ。問題の条件より、負の解が $-\alpha$、正の解が $\beta, \gamma$ ($\beta < \gamma$) であるから

$$ -\alpha < 0 < \beta < 1 < \gamma $$

となる。これより $\alpha > 0$ である。 $\beta$ は $f(x)=0$ の解であるから

$$ f(\beta) = 8\beta^3 - 12\beta^2 + 3 = 0 $$

が成り立つ。これより

$$ 3 = -8\beta^3 + 12\beta^2 $$

である。ここで、$f(-\beta)$ の値を計算すると

$$ \begin{aligned} f(-\beta) &= 8(-\beta)^3 - 12(-\beta)^2 + 3 \\ &= -8\beta^3 - 12\beta^2 + 3 \end{aligned} $$

となる。これに先の $3 = -8\beta^3 + 12\beta^2$ を代入すると

$$ \begin{aligned} f(-\beta) &= -8\beta^3 - 12\beta^2 + (-8\beta^3 + 12\beta^2) \\ &= -16\beta^3 \end{aligned} $$

となる。$\beta > 0$ であるから、$-16\beta^3 < 0$ であり

$$ f(-\beta) < 0 $$

がいえる。一方、増減表より $x < 0$ の範囲において $f'(x) > 0$ であるから、$f(x)$ はこの範囲で単調に増加する。 $-\alpha$ は $f(x)=0$ の負の解であるから $f(-\alpha) = 0$ である。したがって、$x < 0$ の範囲において

$$ f(-\beta) < f(-\alpha) $$

が成り立つことから、$f(x)$ の単調増加性により

$$ -\beta < -\alpha $$

すなわち

$$ \alpha < \beta $$

が示された。

解法2

(2) の代数的な計算による別解を示す。

$f(x) = 8x^3 - 12x^2 + 3 = 0$ の解が $-\alpha, \beta, \gamma$ であるから、$-\alpha$ と $\beta$ は方程式を満たす。

$$ f(-\alpha) = 8(-\alpha)^3 - 12(-\alpha)^2 + 3 = -8\alpha^3 - 12\alpha^2 + 3 = 0 \quad \cdots (A) $$

$$ f(\beta) = 8\beta^3 - 12\beta^2 + 3 = 0 \quad \cdots (B) $$

(A), (B) より $3$ を消去すると

$$ 8\alpha^3 + 12\alpha^2 = -8\beta^3 + 12\beta^2 $$

$$ 8(\alpha^3 + \beta^3) + 12(\alpha^2 - \beta^2) = 0 $$

共通因数を括り出して因数分解すると

$$ 8(\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) + 12(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 0 $$

$$ (\alpha + \beta) \{ 8(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) + 12(\alpha - \beta) \} = 0 $$

ここで、解の配置から $\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ であるから、$\alpha + \beta > 0$ である。よって、両辺を $\alpha + \beta$ で割ることができ、

$$ 8(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) + 12(\alpha - \beta) = 0 \quad \cdots (C) $$

となる。ここで、$\alpha \geqq \beta$ と仮定して背理法を用いる。平方完成すると

$$ \alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2 = \left( \alpha - \frac{1}{2}\beta \right)^2 + \frac{3}{4}\beta^2 $$

であり、$\beta > 0$ より $\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2 > 0$ である。また仮定より $\alpha - \beta \geqq 0$ である。したがって

$$ 8(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) + 12(\alpha - \beta) > 0 $$

となり、(C) が $=0$ であることに矛盾する。ゆえに、仮定は誤りであり $\alpha < \beta$ であることが示された。

解説

(1) は極値の条件から元の関数を決定する基本問題である。積分定数と $x^3$ の係数の2つを決定するために、2つの極値の情報を用いる。(2) で大小関係を示す方法はいくつか考えられる。解法1のように関数 $y=f(x)$ の単調性を利用し、$y$ 座標の大小関係から $x$ 座標の大小関係に帰着させるのが、グラフのイメージとも合致し視覚的にもわかりやすい。解法2のように方程式から直接代数的に証明する方法も、差や和を利用して因数分解に持ち込む典型的な手法の練習として有用である。