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九州大学 1999年理系第9問解説

方針・初手

与えられた内積の条件から連立方程式を立て、ベクトル $\vec{d}$, $\vec{f}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ の一次結合として表す。その後は内積の基本性質と図形的意味を活用して計算を進める。特に四面体の体積においては、与えられた条件式から平面の法線ベクトルを見抜くことができると計算を大幅に短縮できる。

解法1

(1)

$\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ の両辺について、それぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ との内積をとる。条件 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ および $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ を用いると、以下の連立方程式が得られる。

$$\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{d} &= x|\vec{a}|^2 + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) + z(\vec{a} \cdot \vec{c}) \\ &= x - \frac{1}{2}y = 1 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \vec{b} \cdot \vec{d} &= x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + y|\vec{b}|^2 + z(\vec{b} \cdot \vec{c}) \\ &= -\frac{1}{2}x + y - \frac{1}{2}z = 0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \vec{c} \cdot \vec{d} &= x(\vec{a} \cdot \vec{c}) + y(\vec{b} \cdot \vec{c}) + z|\vec{c}|^2 \\ &= -\frac{1}{2}y + z = 0 \end{aligned}$$

第3式より $z = \frac{1}{2}y$。これを第2式に代入して整理すると $-\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y = 0$ となり、$x = \frac{3}{2}y$ を得る。これを第1式に代入して、$\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}y = 1$ より $y = 1$ となる。したがって、$x = \frac{3}{2}$, $z = \frac{1}{2}$ である。

同様に $\vec{f} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}$ とおき、$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ との内積をとる。

$$\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{f} &= p - \frac{1}{2}q = 0 \\ \vec{b} \cdot \vec{f} &= -\frac{1}{2}p + q - \frac{1}{2}r = 0 \\ \vec{c} \cdot \vec{f} &= -\frac{1}{2}q + r = 1 \end{aligned}$$

第1式より $p = \frac{1}{2}q$、第3式より $r = 1 + \frac{1}{2}q$。これらを第2式に代入して、

$$-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}q\right) + q - \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}q\right) = 0$$

整理すると $\frac{1}{2}q - \frac{1}{2} = 0$ となり、$q = 1$ を得る。よって $p = \frac{1}{2}$, $r = \frac{3}{2}$ となり、$\vec{f} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \frac{3}{2}\vec{c}$ である。

(2)

(1) の結果より、$\vec{d} = \frac{3}{2}\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$ であるから、その大きさの2乗は $\vec{d}$ 自身との内積をとることで計算できる。

$$\begin{aligned} |\vec{d}|^2 &= \vec{d} \cdot \vec{d} \\ &= \vec{d} \cdot \left(\frac{3}{2}\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}\right) \\ &= \frac{3}{2}(\vec{d} \cdot \vec{a}) + (\vec{d} \cdot \vec{b}) + \frac{1}{2}(\vec{d} \cdot \vec{c}) \\ &= \frac{3}{2}(1) + 0 + 0 \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned}$$

よって、$|\vec{d}| = \frac{\sqrt{6}}{2}$ である。

同様に $|\vec{f}|^2$ についても、

$$\begin{aligned} |\vec{f}|^2 &= \vec{f} \cdot \vec{f} \\ &= \vec{f} \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \frac{3}{2}\vec{c}\right) \\ &= \frac{1}{2}(\vec{f} \cdot \vec{a}) + (\vec{f} \cdot \vec{b}) + \frac{3}{2}(\vec{f} \cdot \vec{c}) \\ &= 0 + 0 + \frac{3}{2}(1) \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned}$$

よって、$|\vec{f}| = \frac{\sqrt{6}}{2}$ である。

次に、$\vec{d} \cdot \vec{f}$ を計算する。

$$\begin{aligned} \vec{d} \cdot \vec{f} &= \vec{d} \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \frac{3}{2}\vec{c}\right) \\ &= \frac{1}{2}(\vec{d} \cdot \vec{a}) + (\vec{d} \cdot \vec{b}) + \frac{3}{2}(\vec{d} \cdot \vec{c}) \\ &= \frac{1}{2}(1) + 0 + 0 \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

これを用いて $|\vec{d} - \vec{f}|^2$ を展開して求める。

$$\begin{aligned} |\vec{d} - \vec{f}|^2 &= |\vec{d}|^2 - 2\vec{d} \cdot \vec{f} + |\vec{f}|^2 \\ &= \frac{3}{2} - 2\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{3}{2} \\ &= 2 \end{aligned}$$

よって、$|\vec{d} - \vec{f}| = \sqrt{2}$ である。

(3)

三角形 $ODF$ の面積を $S$ とすると、ベクトルを用いた面積公式より以下のように求まる。

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{d}|^2|\vec{f}|^2 - (\vec{d} \cdot \vec{f})^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$

(4)

条件より $\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$ かつ $\vec{b} \cdot \vec{f} = 0$ であるから、ベクトル $\vec{b}$ は平面 $ODF$ に垂直であり、平面 $ODF$ の法線ベクトルとしてはたらく。

四面体 $ODEF$ について、三角形 $ODF$ を底面とみる。このときの高さ $h$ は、点 $E$ から平面 $ODF$ に下ろした垂線の長さであり、これはベクトル $\vec{e}$ の $\vec{b}$ 方向の正射影ベクトルの大きさに等しい。

$$\begin{aligned} h &= \frac{|\vec{e} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} \\ &= \frac{|1|}{1} \\ &= 1 \end{aligned}$$

したがって、求める四面体 $ODEF$ の体積 $V$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \times S \times h \\ &= \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 \\ &= \frac{\sqrt{2}}{6} \end{aligned}$$

解説

複数のベクトルの内積条件が与えられた空間ベクトルの典型問題である。(1) では素直に連立方程式を立てるだけで良い。(2) 以降の大きさの計算において、係数のついたベクトルの2乗を直接展開して計算すると項数が多くなり煩雑となるが、解答のように $\vec{d} \cdot \vec{d} = \vec{d} \cdot (x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c})$ のように片方だけを展開し、与えられた内積条件の値をそのまま用いると計算ミスを減らすことができる。

(4) の体積計算において、点と平面の距離を求めるような標準的な解法（垂線の足を文字で置くなど）をとると計算量が膨大になる。問題文で与えられている $\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{f} = 0$ という条件が「$\vec{b}$ が平面 $ODF$ の法線ベクトルである」ことを暗に示していると気づけるかどうかがポイントである。