九州大学 1998年 理系 第7問 解説

方針・初手

正四面体の問題をベクトルで扱う際の定石通り、1つの頂点 O を基準点とし、そこから伸びる3つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を基底として各点の位置ベクトルを表現する。正四面体の性質から、これらの基底ベクトルの大きさはすべて等しく、内積もすべて等しいことが利用できる。 同一平面上にある条件は、1つのベクトルを他の2つのベクトルの1次結合（実数倍の和）で表せるという共面条件を用いる。外接球の中心であることの証明は、中心の候補である点 G から各頂点までの距離（ベクトルの大きさ）がすべて等しいことを計算で示せばよい。

解法1

正四面体 OABC の1辺の長さが $1$ であるから、各ベクトルの大きさは、

$$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$$

また、各面は正三角形であるため、内積は、

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$

各点 P, Q, R, S の位置ベクトルは次のように表される。

$$\overrightarrow{\text{OP}} = \frac{m}{m+n} \vec{a}$$

$$\overrightarrow{\text{OQ}} = \frac{n\vec{b} + m\vec{c}}{m+n}$$

$$\overrightarrow{\text{OR}} = \frac{n}{m+n} \vec{c}$$

（※点 R は線分 CO を $m:n$ に内分する点であるため、点 C から $m$、点 O から $n$ の比となる）

$$\overrightarrow{\text{OS}} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$$

(1)(i)

定義に従って $\overrightarrow{\text{PQ}}$ と $\overrightarrow{\text{RS}}$ を計算する。

$$\overrightarrow{\text{PQ}} = \overrightarrow{\text{OQ}} - \overrightarrow{\text{OP}} = \frac{n\vec{b} + m\vec{c}}{m+n} - \frac{m\vec{a}}{m+n} = \frac{-m\vec{a} + n\vec{b} + m\vec{c}}{m+n}$$

$$\overrightarrow{\text{RS}} = \overrightarrow{\text{OS}} - \overrightarrow{\text{OR}} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} - \frac{n\vec{c}}{m+n} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b} - n\vec{c}}{m+n}$$

(1)(ii)

$\overrightarrow{\text{PQ}}$ と $\overrightarrow{\text{RS}}$ の内積を計算する。

$$\overrightarrow{\text{PQ}} \cdot \overrightarrow{\text{RS}} = \frac{1}{(m+n)^2} (-m\vec{a} + n\vec{b} + m\vec{c}) \cdot (n\vec{a} + m\vec{b} - n\vec{c})$$

分子を展開する。

$$\begin{aligned} & (-m\vec{a} + n\vec{b} + m\vec{c}) \cdot (n\vec{a} + m\vec{b} - n\vec{c}) \\ &= -mn|\vec{a}|^2 - m^2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + mn(\vec{a} \cdot \vec{c}) + n^2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + mn|\vec{b}|^2 - n^2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + mn(\vec{c} \cdot \vec{a}) + m^2(\vec{b} \cdot \vec{c}) - mn|\vec{c}|^2 \end{aligned}$$

これに $|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=1$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}$ を代入する。

$$\begin{aligned} &= -mn - \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}mn + \frac{1}{2}n^2 + mn - \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}mn + \frac{1}{2}m^2 - mn \\ &= \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)m^2 + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)n^2 + \left(-1 + \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1\right)mn \\ &= 0 \end{aligned}$$

$m>0, n>0$ より $\overrightarrow{\text{PQ}} \neq \vec{0}$, $\overrightarrow{\text{RS}} \neq \vec{0}$ であるから、$\overrightarrow{\text{PQ}}$ と $\overrightarrow{\text{RS}}$ は垂直である。

(2)(i)

点 P, Q, R, S が同一平面上にあるとき、実数 $u, v$ を用いて $\overrightarrow{\text{PQ}} = u\overrightarrow{\text{PR}} + v\overrightarrow{\text{PS}}$ と表すことができる。

$$\overrightarrow{\text{PR}} = \overrightarrow{\text{OR}} - \overrightarrow{\text{OP}} = \frac{-m\vec{a} + n\vec{c}}{m+n}$$

$$\overrightarrow{\text{PS}} = \overrightarrow{\text{OS}} - \overrightarrow{\text{OP}} = \frac{(n-m)\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$$

これを条件式に代入する。

$$\frac{-m\vec{a} + n\vec{b} + m\vec{c}}{m+n} = u\left(\frac{-m\vec{a} + n\vec{c}}{m+n}\right) + v\left(\frac{(n-m)\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}\right)$$

両辺に $m+n$ を掛け、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ について整理する。

$$-m\vec{a} + n\vec{b} + m\vec{c} = \{-mu + v(n-m)\}\vec{a} + vm\vec{b} + un\vec{c}$$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は1次独立であるから、両辺の係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} -m = -mu + v(n-m) \\ n = vm \\ m = un \end{cases}$$

第2式より $v = \frac{n}{m}$、第3式より $u = \frac{m}{n}$ となる。これらを第1式に代入する。

$$-m = -m\left(\frac{m}{n}\right) + \frac{n}{m}(n-m)$$

両辺に $mn$ を掛けて整理する。

$$\begin{aligned} -m^2n &= -m^3 + n^2(n-m) \\ -m^2n &= -m^3 + n^3 - mn^2 \\ m^3 - m^2n + mn^2 - n^3 &= 0 \\ m^2(m-n) + n^2(m-n) &= 0 \\ (m^2+n^2)(m-n) &= 0 \end{aligned}$$

$m, n > 0$ より $m^2+n^2 > 0$ であるから、$m-n=0$ すなわち $m=n$ となる。

(2)(ii)

$m=n$ のとき、P, Q, R, S は各辺の中点となる。このとき、

$$\overrightarrow{\text{PS}} = \overrightarrow{\text{OS}} - \overrightarrow{\text{OP}} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}) - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{b}$$

$$\overrightarrow{\text{RQ}} = \overrightarrow{\text{OQ}} - \overrightarrow{\text{OR}} = \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}) - \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{b}$$

よって $\overrightarrow{\text{PS}} = \overrightarrow{\text{RQ}}$ が成り立つため、四角形 PSQR は平行四辺形である。 平行四辺形の対角線 PQ と RS はそれぞれの中点で交わるため、交点 G は線分 PQ の中点である。

$$\overrightarrow{\text{OG}} = \frac{\overrightarrow{\text{OP}} + \overrightarrow{\text{OQ}}}{2} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) \right\} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$$

(2)(iii)

点 G が正四面体 OABC に外接する球の中心であることを示すには、各頂点までの距離が等しいこと、すなわち $|\overrightarrow{\text{GO}}| = |\overrightarrow{\text{GA}}| = |\overrightarrow{\text{GB}}| = |\overrightarrow{\text{GC}}|$ が成り立つことを示せばよい。 まず、$|\overrightarrow{\text{GO}}|^2$ を計算する。

$$\overrightarrow{\text{GO}} = -\overrightarrow{\text{OG}} = -\frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$$

$$|\overrightarrow{\text{GO}}|^2 = \frac{1}{16} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2$$

ここで、

$$\begin{aligned} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 &= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \\ &= 1 + 1 + 1 + 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \\ &= 6 \end{aligned}$$

よって、$|\overrightarrow{\text{GO}}|^2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ となる。

次に、$|\overrightarrow{\text{GA}}|^2$ を計算する。

$$\overrightarrow{\text{GA}} = \overrightarrow{\text{OA}} - \overrightarrow{\text{OG}} = \vec{a} - \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{4}(3\vec{a} - \vec{b} - \vec{c})$$

$$|\overrightarrow{\text{GA}}|^2 = \frac{1}{16} |3\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}|^2$$

ここで、

$$\begin{aligned} |3\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}|^2 &= 9|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 6\vec{a} \cdot \vec{b} - 6\vec{a} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{c} \\ &= 9(1) + 1 + 1 - 6\left(\frac{1}{2}\right) - 6\left(\frac{1}{2}\right) + 2\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 11 - 3 - 3 + 1 \\ &= 6 \end{aligned}$$

よって、$|\overrightarrow{\text{GA}}|^2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ となる。

同様に、$\overrightarrow{\text{GB}} = \frac{1}{4}(-\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c})$、$\overrightarrow{\text{GC}} = \frac{1}{4}(-\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c})$ についても、式の対称性から

$$|\overrightarrow{\text{GB}}|^2 = \frac{3}{8}, \quad |\overrightarrow{\text{GC}}|^2 = \frac{3}{8}$$

となる。 以上より、$|\overrightarrow{\text{GO}}| = |\overrightarrow{\text{GA}}| = |\overrightarrow{\text{GB}}| = |\overrightarrow{\text{GC}}| = \frac{\sqrt{6}}{4}$ が成り立つ。 したがって、G は正四面体 OABC に外接する球の中心であり、その半径は $\frac{\sqrt{6}}{4}$ である。

解説

空間ベクトルの標準的な計算問題である。基底を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ に設定し、機械的に内積計算や係数比較に持ち込むことで完答できる。 注意すべきは点 R の位置ベクトルである。「線分 CO を $m:n$ に内分する」という表現は、点 C 側の比率が $m$、点 O 側の比率が $n$ であることを意味するため、$\overrightarrow{\text{OR}} = \frac{n\overrightarrow{\text{OC}} + m\overrightarrow{\text{OO}}}{m+n} = \frac{n}{m+n}\vec{c}$ となる。ここを $\frac{m}{m+n}\vec{c}$ と取り違えると、その後の計算がすべて崩れてしまうので慎重に立式したい。 (2)(i) の4点が同一平面上にある条件は、$\overrightarrow{\text{PQ}} = u\overrightarrow{\text{PR}} + v\overrightarrow{\text{PS}}$ とおいて係数比較を行う、頻出の共面条件の処理である。

答え

(1) (i) $\overrightarrow{\text{PQ}} = \frac{-m\vec{a} + n\vec{b} + m\vec{c}}{m+n}, \quad \overrightarrow{\text{RS}} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b} - n\vec{c}}{m+n}$

(ii) 垂直である。

(2) (i) $m = n$

(ii) $\overrightarrow{\text{OG}} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

(iii) 球の半径は $\frac{\sqrt{6}}{4}$