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九州大学 2008年文系第3問解説

方針・初手

図形の辺の長さや角度の条件が具体的に与えられているため、点 $O$ を原点とする座標平面を導入し、各頂点の位置ベクトルを成分表示して処理するのが最も確実で簡明な方針である。

解法1

点 $O$ を原点 $(0, 0)$ とする座標平面を設定する。線分 $BE$ の長さは $2$ であり、$O$ はその中点であるから、点 $B, E$ の座標をそれぞれ $B(1, 0), E(-1, 0)$ と設定できる。

三角形 $ABE$ は $\angle A = 90^\circ$ の直角二等辺三角形であるから、$AB = AE = \sqrt{2}$ である。原点 $O$ は斜辺 $BE$ の中点であるから、$OA = 1$ であり、点 $A$ の $y$ 座標を正とすると、点 $A$ の座標は $A(0, 1)$ と表せる。

四角形 $BCDE$ は $BC=1, CD=2$ の長方形である。五角形 $ABCDE$ を形成するため、点 $C, D$ は $x$ 軸に関して点 $A$ と反対側にある。したがって、点 $C, D$ の座標はそれぞれ $C(1, -1), D(-1, -1)$ となる。

以上より、各点に対する位置ベクトルは以下のようになる。

$$ \overrightarrow{OA} = (0, 1), \quad \overrightarrow{OB} = (1, 0), \quad \overrightarrow{OC} = (1, -1), \quad \overrightarrow{OD} = (-1, -1), \quad \overrightarrow{OE} = (-1, 0) $$

(1)

$\overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OC}$ の内積は、成分計算により求める。

$$ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) = 1 $$

(2)

$5$ 枚のカードから $1$ 枚を引いて元に戻す操作を $2$ 回行うとき、$(P_1, P_2)$ の組は $5 \times 5 = 25$ 通りあり、これらはすべて同様に確からしい。 $\overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_2} = 1$ となる組を調べる。

各ベクトルの自分自身との内積（大きさの2乗）は以下の通りである。

$$ |\overrightarrow{OA}|^2 = 1, \quad |\overrightarrow{OB}|^2 = 1, \quad |\overrightarrow{OC}|^2 = 2, \quad |\overrightarrow{OD}|^2 = 2, \quad |\overrightarrow{OE}|^2 = 1 $$

異なる2つのベクトルの内積を計算する。

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0, \quad \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = -1, \quad \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} = -1, \quad \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OE} = 0 $$

$$ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 1, \quad \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = -1, \quad \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OE} = -1 $$

$$ \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} = 0, \quad \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OE} = -1 $$

$$ \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = 1 $$

以上の結果から、$\overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_2} = 1$ となる $(P_1, P_2)$ の組は以下の $7$ 通りである。 $(A, A), (B, B), (E, E), (B, C), (C, B), (D, E), (E, D)$

したがって、求める確率は以下のようになる。

$$ \frac{7}{25} $$

(3)

まず、$\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ を成分で求める。

$$ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = (1, -1) + (-1, -1) = (0, -2) $$

次に、各 $P_i$ に対する $q_i = (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \cdot \overrightarrow{OP_i}$ の値を計算する。

$P_i = A$ のとき、$q_i = (0, -2) \cdot (0, 1) = -2$ $P_i = B$ のとき、$q_i = (0, -2) \cdot (1, 0) = 0$ $P_i = C$ のとき、$q_i = (0, -2) \cdot (1, -1) = 2$ $P_i = D$ のとき、$q_i = (0, -2) \cdot (-1, -1) = 2$ $P_i = E$ のとき、$q_i = (0, -2) \cdot (-1, 0) = 0$

これより、$q_i = 0$ となるのは $P_i$ が $B$ または $E$ を引いたときであり、その確率は $\frac{2}{5}$ である。一方、$q_i \neq 0$ となるのは $P_i$ が $A, C, D$ を引いたときであり、その確率は $\frac{3}{5}$ である。

$q_1 q_2 \cdots q_n = 0$ となる事象は、「$n$ 回の試行のうち、少なくとも $1$ 回は $q_i = 0$ となる」という事象である。この余事象は「$n$ 回の試行すべてにおいて $q_i \neq 0$ となる」事象である。各回の試行は独立であるから、余事象の確率は $\left( \frac{3}{5} \right)^n$ となる。

したがって、求める確率は以下のようになる。

$$ 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^n $$

解説

図形の計量問題において、長さや直角といった条件が多く与えられている場合、座標を導入することで図形的な考察を機械的な計算に帰着させることができる。本問はその典型例である。 (2) については、総数が $25$ 通りと少ないため、計算結果を書き出して漏れなく調べる確実性が求められる。 (3) のように「積が $0$ になる」確率を求める問題では、「少なくとも $1$ つが $0$ になる」と言い換えることで、余事象の利用に気づくことが定石である。