九州大学 2011年 文系 第1問 解説

方針・初手

図形と方程式の基本事項に従って座標を順に求めていく。面積計算については、求めたい図形を扱いやすい部分（放物線と直線で囲まれた部分と、直角三角形）に分割して考えるのがポイントである。

解法1

(1)

直線 $y = x$ の傾きは $1$ である。点 $P(t, t^2)$ を通り、直線 $y = x$ に垂直な直線 $PH$ の傾きは $-1$ であるから、その方程式は

$$ y - t^2 = -1(x - t) $$

すなわち

$$ y = -x + t^2 + t $$

である。点 $H$ は直線 $y = x$ とこの直線の交点であるから、連立方程式

$$ \begin{cases} y = x \\ y = -x + t^2 + t \end{cases} $$

を解いて、

$$ 2x = t^2 + t $$

$$ x = \frac{t^2 + t}{2} $$

したがって、点 $H$ の座標は

$$ \left( \frac{t^2 + t}{2}, \frac{t^2 + t}{2} \right) $$

である。

(2)

点 $R$ は点 $P(t, t^2)$ を通り $y$ 軸に平行な直線 $x = t$ と、直線 $y = x$ の交点であるから、その座標は $R(t, t)$ である。

線分 $PR$ は $y$ 軸に平行であり、直線 $y = x$ とのなす角は $45^\circ$ である。したがって、$\triangle PRH$ は $\angle PHR = 90^\circ$ の直角二等辺三角形となる。

底辺を $PR$ とみると、$t > 1$ より $t^2 > t$ であるから、その長さは

$$ PR = t^2 - t $$

である。三角形 $PRH$ の高さを、点 $H$ から直線 $PR$ ($x = t$) に下ろした垂線の長さとみると、

$$ \frac{t^2 + t}{2} - t = \frac{t^2 - t}{2} $$

となる。よって、求める三角形 $PRH$ の面積は

$$ \frac{1}{2} \times (t^2 - t) \times \frac{t^2 - t}{2} = \frac{1}{4} (t^2 - t)^2 $$

である。

(3)

$x \geqq 1$ の範囲において、$y = x^2$ と $y = x$ の交点の $x$ 座標は $x^2 = x$ より $x = 1$ である。

$t > 1$ において、放物線 $y = x^2$、直線 $y = x$、および線分 $PH$ で囲まれた図形は、 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x$ および直線 $x = t$ で囲まれた領域と、三角形 $PRH$ の和として表される。

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x$、$x = t$ で囲まれた領域の面積は、

$$ \int_{1}^{t} (x^2 - x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{t} $$

$$ = \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) $$

$$ = \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{6} $$

である。これに (2) で求めた三角形 $PRH$ の面積を加えると、求める面積 $S_1$ は

$$ S_1 = \left( \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{6} \right) + \frac{1}{4} (t^2 - t)^2 $$

$$ = \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{1}{4}t^2 $$

$$ = \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{6}t^3 - \frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{6} $$

となる。

(4)

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x$ の交点は $x = 0, 1$ であり、この範囲で $x \geqq x^2$ であるから、面積 $S_2$ は

$$ S_2 = \int_{0}^{1} (x - x^2) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} $$

である。$S_1 = S_2$ より、

$$ \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{6}t^3 - \frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} $$

$$ \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{6}t^3 - \frac{1}{4}t^2 = 0 $$

両辺に $12$ をかけて整理すると、

$$ 3t^4 - 2t^3 - 3t^2 = 0 $$

$$ t^2(3t^2 - 2t - 3) = 0 $$

$t > 1$ より $t \neq 0$ であるから、

$$ 3t^2 - 2t - 3 = 0 $$

これを解くと、

$$ t = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 3 \cdot (-3)}}{3} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3} $$

$t > 1$ の条件について考える。$3 < \sqrt{10} < 4$ であるから、

$$ \frac{1 + \sqrt{10}}{3} > \frac{1 + 3}{3} = \frac{4}{3} > 1 $$

であり適する。一方、$\frac{1 - \sqrt{10}}{3} < 0$ は不適である。

したがって、求める $t$ の値は

$$ t = \frac{1 + \sqrt{10}}{3} $$

である。

解説

面積計算における図形の分割が最大のポイントである。(3) の面積 $S_1$ を直接計算しようとすると積分範囲や関数の設定が煩雑になるが、$y$ 軸に平行な直線 ($x = t$) で領域を分割し、「放物線と直線の間の定積分」と「直角三角形の面積」の和として捉えることで、計算量を大幅に減らすことができる。(2) の誘導の意図を正確に読み取ることが重要である。

答え

(1) $H \left( \frac{t^2 + t}{2}, \frac{t^2 + t}{2} \right)$ (2) $\frac{1}{4}(t^2 - t)^2$ (3) $S_1 = \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{6}t^3 - \frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{6}$ (4) $t = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$