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大阪大学 1977年文系第2問解説

方針・初手

円 $S_n$ の中心を原点とし、内接する正 $2^{n+2}$ 角形の対称性を利用する。隣接する頂点の座標や角度から、「 $1$ つおいて隣り合う $2$ 辺の延長の交点」と中心との距離を求め、それが $r_{n+1}$ となることを立式する。（2）は（1）で得られた漸化式から $r_n$ の一般項を推測・導出し、三角関数の値域を評価して不等式を示す。

解法1

(1)

円 $S_n$ の中心を $\text{O}$ とし、円 $S_n$ に内接する正 $2^{n+2}$ 角形の連続する $4$ つの頂点を順に $\text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}$ とする。

「 $1$ つおいて隣り合う $2$ 辺」は線分 $\text{AB}$ と線分 $\text{CD}$ であり、これらを $\text{B}, \text{C}$ 側に延長した半直線の交点を $\text{P}$ とする。点 $\text{P}$ は円 $S_{n+1}$ に内接する正 $2^{n+2}$ 角形の頂点であるから、線分 $\text{OP}$ の長さは円 $S_{n+1}$ の半径 $r_{n+1}$ に等しい。

正 $2^{n+2}$ 角形の中心角は $\frac{2\pi}{2^{n+2}} = \frac{\pi}{2^{n+1}}$ であるから、$\triangle\text{OBC}$ において、

$$ \angle\text{BOC} = \frac{\pi}{2^{n+1}} $$

である。中心 $\text{O}$ から辺 $\text{BC}$ に下ろした垂線の足を $\text{M}$ とすると、$\text{M}$ は線分 $\text{BC}$ の中点であり、

$$ \angle\text{BOM} = \frac{1}{2}\angle\text{BOC} = \frac{\pi}{2^{n+2}} $$

となる。$\triangle\text{OBM}$ は直角三角形であり、$\text{OB} = r_n$ であるから、

$$ \text{OM} = r_n \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) $$

$$ \text{BM} = r_n \sin\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) $$

である。

次に、$\triangle\text{PBC}$ について考える。図形の対称性から、点 $\text{P}$ は半直線 $\text{OM}$ 上にある。

頂点 $\text{B}$ における外角を考えると、直線 $\text{AB}$ と直線 $\text{BC}$ のなす角は正 $2^{n+2}$ 角形の外角に等しい。外角の大きさは中心角と等しく、

$$ \frac{2\pi}{2^{n+2}} = \frac{\pi}{2^{n+1}} $$

である。すなわち $\angle\text{PBM} = \frac{\pi}{2^{n+1}}$ となる。同様に $\angle\text{PCM} = \frac{\pi}{2^{n+1}}$ であるから、$\triangle\text{PBC}$ は $\text{PB} = \text{PC}$ の二等辺三角形である。

直角三角形 $\triangle\text{PBM}$ において、

$$ \text{PM} = \text{BM} \tan(\angle\text{PBM}) = r_n \sin\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) \tan\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) $$

となる。

交点 $\text{P}$ と中心 $\text{O}$ の距離 $r_{n+1}$ は $\text{OP} = \text{OM} + \text{PM}$ であるから、

$$ r_{n+1} = r_n \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) + r_n \sin\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)} $$

$$ r_{n+1} = r_n \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) \sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)} $$

となる。三角関数の加法定理 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ を用いると、分子は

$$ \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}} - \frac{\pi}{2^{n+2}}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) $$

と整理できる。したがって、

$$ r_{n+1} = r_n \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)} $$

分母を払うことで、

$$ r_{n+1} \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) = r_n \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) $$

が示された。

(2)

（1）の結果より、$k \ge 1$ に対して、

$$ \frac{r_{k+1}}{r_k} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2^{k+2}}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)} $$

が成り立つ。$n \ge 2$ のとき、この式を $k = 1, 2, \dots, n-1$ について掛け合わせると、

$$ \prod_{k=1}^{n-1} \frac{r_{k+1}}{r_k} = \prod_{k=1}^{n-1} \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2^{k+2}}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)} $$

$$ \frac{r_n}{r_1} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} \cdot \frac{\cos\left(\frac{\pi}{16}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)} \cdots \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2^n}\right)} $$

右辺は隣り合う項の分母と分子が次々と約分されるため、

$$ \frac{r_n}{r_1} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} $$

となる。これは $n=1$ のとき、両辺が $\frac{r_1}{r_1} = 1$ および $\frac{\cos(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = 1$ となり成り立つので、$n \ge 1$ のすべての自然数について成立する。

$r_1 = 1$ であり、$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、

$$ r_n = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) $$

と求まる。

ここで、$n \ge 1$ のとき、$0 < \frac{\pi}{2^{n+1}} \le \frac{\pi}{4}$ であるから、

$$ 0 < \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) < 1 $$

である。（等号は成立しない）

よって、

$$ r_n = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) < \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} $$

となり、$r_n < \sqrt{2}$ が示された。