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大阪大学 2007年理系第4問解説

方針・初手

$C_1$ と $C_2$ の交点の方程式 $f(x) = f(2t-x)$ を立式し、因数分解を用いて実数解を求めることが初手となる。(1) はこの方程式が異なる3つの実数解をもつための条件を考える。(2) はグラフの上下関係を調べ、差の関数を積分して面積 $S$ を $t$ で表す。定積分の計算では、グラフの対称性を利用した置換積分を行うと計算量が大幅に軽減される。

解法1

(1)

$C_1: y = x^3 - x$ と $C_2: y = (2t-x)^3 - (2t-x)$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$ x^3 - x = (2t-x)^3 - (2t-x) $$

の実数解である。これを整理する。

$$ \begin{aligned} & x^3 - (2t-x)^3 - (x - (2t-x)) = 0 \\ & (x - (2t-x))(x^2 + x(2t-x) + (2t-x)^2) - (2x - 2t) = 0 \\ & (2x - 2t)(x^2 + 2tx - x^2 + 4t^2 - 4tx + x^2) - 2(x - t) = 0 \\ & 2(x - t)(x^2 - 2tx + 4t^2) - 2(x - t) = 0 \\ & 2(x - t)(x^2 - 2tx + 4t^2 - 1) = 0 \end{aligned} $$

したがって、$x = t$ または $x^2 - 2tx + 4t^2 - 1 = 0$ となる。

$C_1$ と $C_2$ が異なる3点で交わるための条件は、2次方程式

$$ x^2 - 2tx + 4t^2 - 1 = 0 \quad \cdots (*) $$

が、$x = t$ 以外の異なる2つの実数解をもつことである。

(i)

$x = t$ が $(*)$ の解とならない条件

$$ t^2 - 2t^2 + 4t^2 - 1 \neq 0 $$

$$ 3t^2 - 1 \neq 0 $$

$$ t \neq \pm\frac{1}{\sqrt{3}} $$

(ii)

$(*)$ が異なる2つの実数解をもつ条件

$(*)$ の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ である。

$$ \frac{D}{4} = (-t)^2 - (4t^2 - 1) = 1 - 3t^2 > 0 $$

$$ 3t^2 < 1 $$

$$ -\frac{1}{\sqrt{3}} < t < \frac{1}{\sqrt{3}} $$

（i）と（ii）を同時に満たす範囲が求める条件であり、

$$ -\frac{1}{\sqrt{3}} < t < \frac{1}{\sqrt{3}} $$

(2)

(1)で求めた範囲において、2次方程式 $(*)$ の2つの実数解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とする。解の公式より、

$$ x = t \pm \sqrt{1 - 3t^2} $$

であるから、$\alpha = t - \sqrt{1 - 3t^2}$、$\beta = t + \sqrt{1 - 3t^2}$ であり、明らかに $\alpha < t < \beta$ を満たす。

2曲線の上下関係を調べるため、差の関数 $h(x) = f(x) - f(2t-x)$ を考える。$x^3$ の係数が正であることに注意して因数分解された形を見ると、

$$ h(x) = 2(x - t)(x - \alpha)(x - \beta) $$

となる。

$\alpha < x < t$ においては、$x-t < 0$、$x-\alpha > 0$、$x-\beta < 0$ より $h(x) > 0$ となり、$C_1$ が $C_2$ の上側にある。

$t < x < \beta$ においては、$x-t > 0$、$x-\alpha > 0$、$x-\beta < 0$ より $h(x) < 0$ となり、$C_2$ が $C_1$ の上側にある。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S = \int_{\alpha}^{t} h(x) dx + \int_{t}^{\beta} \{-h(x)\} dx $$

ここで計算を簡単にするため、$h(x)$ を平方完成の要領で変形する。

$$ \begin{aligned} h(x) &= 2(x - t)(x^2 - 2tx + 4t^2 - 1) \\ &= 2(x - t) \{(x - t)^2 - (1 - 3t^2)\} \end{aligned} $$

$c = \sqrt{1 - 3t^2}$ とおくと、$\alpha = t - c$、$\beta = t + c$ であり、$h(x) = 2(x - t) \{(x - t)^2 - c^2\}$ と表せる。

定積分において $X = x - t$ と置換すると、$dx = dX$ となり、積分区間はそれぞれ $[-c, 0]$ と $[0, c]$ になる。

$$ \begin{aligned} \int_{\alpha}^{t} h(x) dx &= \int_{-c}^{0} 2X(X^2 - c^2) dX \\ &= 2 \left[ \frac{1}{4}X^4 - \frac{1}{2}c^2X^2 \right]_{-c}^{0} \\ &= 0 - 2 \left( \frac{1}{4}c^4 - \frac{1}{2}c^4 \right) \\ &= \frac{1}{2}c^4 \end{aligned} $$

関数 $y = 2X(X^2 - c^2)$ は奇関数であるから、区間 $[0, c]$ での定積分は区間 $[-c, 0]$ の符号を反転させたものに等しい。すなわち、

$$ \int_{t}^{\beta} h(x) dx = \int_{0}^{c} 2X(X^2 - c^2) dX = -\frac{1}{2}c^4 $$

したがって、後段の面積は

$$ \int_{t}^{\beta} \{-h(x)\} dx = -\left( -\frac{1}{2}c^4 \right) = \frac{1}{2}c^4 $$

ゆえに、面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2}c^4 + \frac{1}{2}c^4 = c^4 = (\sqrt{1 - 3t^2})^4 = (1 - 3t^2)^2 $$

(1)の条件より $t^2$ のとりうる範囲は $0 \le t^2 < \frac{1}{3}$ であるから、

$$ 0 < 1 - 3t^2 \le 1 $$

したがって、$S$ は $1 - 3t^2 = 1$ のとき、すなわち $t = 0$ のとき最大値 $1^2 = 1$ をとる。

解説

三次関数の線対称・点対称な性質をテーマにした標準的な微分積分の問題である。(1)では、方程式の解の条件を正しく立式し、重複解を除外するための条件（本問では $x \neq t$）を漏らさないようにすることが重要である。(2)では、交点の $x$ 座標に無理数が含まれるため、解の公式からそのまま展開して積分しようとすると計算が非常に煩雑になる。平行移動の考え方（置換積分）や奇関数の性質を活用し、計算の負担とミスを減らす工夫が求められる。