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九州大学 2019年文系第2問解説

方針・初手

3次関数が極大値と極小値をもつ条件から $k$ の範囲を絞る。その後、導関数の2つの実数解を $\alpha, \beta$ とおき、極値の差 $f(\alpha) - f(\beta)$ を定積分を用いて $\alpha, \beta$ の式で表す。これが $4|k|^3$ と等しいという方程式を解き、先に求めた $k$ の範囲を満たすか確認する。

解法1

$f(x) = x^3 - kx^2 + kx + 1$ とおく。

関数 $f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x) = 3x^2 - 2kx + k $$

$f(x)$ が極大値と極小値をもつための条件は、2次方程式 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつことである。

$f'(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = (-k)^2 - 3 \cdot k = k(k-3) > 0 $$

これを解いて、

$$ k < 0, \quad 3 < k \quad \cdots \text{①} $$

この条件のもとで、$f'(x) = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、$f(x)$ の増減表から $x = \alpha$ で極大、$x = \beta$ で極小となる。

極大値から極小値を引いた値 $f(\alpha) - f(\beta)$ は、定積分を用いて次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} f(\alpha) - f(\beta) &= - (f(\beta) - f(\alpha)) \\ &= - \int_{\alpha}^{\beta} f'(x) dx \\ &= - \int_{\alpha}^{\beta} 3(x-\alpha)(x-\beta) dx \\ &= -3 \left( -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \right) \\ &= \frac{1}{2}(\beta-\alpha)^3 \end{aligned} $$

ここで、解と係数の関係から、$\alpha + \beta = \frac{2}{3}k, \ \alpha\beta = \frac{1}{3}k$ であるため、

$$ \begin{aligned} (\beta-\alpha)^2 &= (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= \left(\frac{2}{3}k\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{3}k \\ &= \frac{4}{9}k^2 - \frac{4}{3}k \\ &= \frac{4}{9}(k^2 - 3k) \end{aligned} $$

$\alpha < \beta$ より $\beta - \alpha > 0$ であるから、

$$ \beta - \alpha = \frac{2}{3}\sqrt{k^2 - 3k} $$

したがって、極大値と極小値の差は、

$$ \begin{aligned} f(\alpha) - f(\beta) &= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3}\sqrt{k^2 - 3k} \right)^3 \\ &= \frac{4}{27} (k^2 - 3k)^{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$

問題の条件より、これが $4|k|^3$ に等しいので、

$$ \frac{4}{27} (k^2 - 3k)^{\frac{3}{2}} = 4|k|^3 $$

両辺に $\frac{27}{4}$ を掛け、さらに両辺を2乗すると、

$$ \begin{aligned} (k^2 - 3k)^3 &= 27^2 |k|^6 \\ k^3(k-3)^3 &= 729k^6 \end{aligned} $$

①より $k \neq 0$ であるから、両辺を $k^3$ で割ると、

$$ (k-3)^3 = 729k^3 $$

実数の範囲において $A^3 = B^3 \iff A = B$ であるから、

$$ k - 3 = 9k $$

これを解くと、

$$ -8k = 3 \implies k = -\frac{3}{8} $$

これは条件①（$k < 0, \ 3 < k$）を満たす。

解説

3次関数の極大値と極小値の差を扱う典型問題である。

直接 $x = \alpha, \beta$ を $f(x)$ に代入して計算するのではなく、導関数の定積分を利用する公式 $\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$ を活用することで、計算量を大幅に減らすことができる。

また、方程式を解く際、極値をもつ条件から $k \neq 0$ が保証されていることを確認したうえで $k^3$ で割るプロセスが、論理的な答案作成において重要である。方程式 $(k-3)^3 = (9k)^3$ から実数解のみを抜き出す点にも注意したい。