九州大学 1971年 理系 第2問 解説

方針・初手

与えられた方程式 $\cos\theta + \sqrt{a}\sin\theta = \sqrt{a}$ を満たす $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲に存在するための $a$ の条件を求める問題である。 解法としては、大きく分けて以下の3つが考えられる。

1. 式の同値変形: $\cos\theta$ を分離して両辺を2乗し、$\sin\theta$ だけの方程式に帰着させる。
2. 図形的なアプローチ: $x=\cos\theta, y=\sin\theta$ と置き換え、座標平面上の円弧と直線の共有点の条件に帰着させる。
3. 三角関数の合成: 左辺を合成し、位相の範囲から逆算する。

ここでは、計算量が少なく見通しの良い「式の同値変形」を解法1として紹介し、その他の解法も併記する。

解法1

与えられた方程式を移項して変形する。

$$\cos\theta = \sqrt{a}(1-\sin\theta)$$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲において、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ のとりうる値の範囲は以下の通りである。

$$0 \leqq \sin\theta \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \cos\theta \leqq 1$$

これより、$1-\sin\theta \geqq 1-\frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ であり、$\cos\theta > 0$ でもある。さらに問題の条件より $a > 0$ であるため、方程式の両辺はともに正である。したがって、両辺を2乗しても同値性は保たれる。

$$\cos^2\theta = a(1-\sin\theta)^2$$

$$1-\sin^2\theta = a(1-\sin\theta)^2$$

$$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) = a(1-\sin\theta)^2$$

$1-\sin\theta > 0$ であるから、両辺を $1-\sin\theta$ で割ることができる。

$$1+\sin\theta = a(1-\sin\theta)$$

$$(a+1)\sin\theta = a-1$$

$a > 0$ より $a+1 > 0$ であるため、両辺を $a+1$ で割る。

$$\sin\theta = \frac{a-1}{a+1}$$

$\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲に存在するためには、$\sin\theta$ がこの範囲での値域に収まればよい。

$$0 \leqq \frac{a-1}{a+1} \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$a+1 > 0$ であるから、各辺に $a+1$ を掛ける。

$$0 \leqq a-1 \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}(a+1)$$

左側の不等式 $0 \leqq a-1$ より、

$$a \geqq 1$$

右側の不等式 $a-1 \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}(a+1)$ を解く。両辺に $\sqrt{2}$ を掛ける。

$$\sqrt{2}a - \sqrt{2} \leqq a + 1$$

$$(\sqrt{2}-1)a \leqq \sqrt{2}+1$$

$\sqrt{2}-1 > 0$ より、両辺を $\sqrt{2}-1$ で割る。

$$a \leqq \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$$

右辺の分母を有利化する。

$$a \leqq \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$$

以上より、求める $a$ の範囲は以下のようになる。

$$1 \leqq a \leqq 3+2\sqrt{2}$$

解法2

方程式を $x, y$ 座標に置き換えて図形的に解く。 $x = \cos\theta, y = \sin\theta$ とおくと、方程式は次のように表される。

$$x + \sqrt{a}y = \sqrt{a}$$

これを変形する。

$$x = \sqrt{a}(1-y)$$

$\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲を動くとき、点 $P(x, y)$ は単位円 $x^2+y^2=1$ の一部である、点 $A(1, 0)$ から 点 $B\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ までの弧を描く。この弧を $C$ とする。

直線 $x = \sqrt{a}(1-y)$ は、$y=1$ のとき常に $x=0$ となるため、定点 $Q(0, 1)$ を通る直線である。この直線が弧 $C$ と共有点をもつ条件を求めればよい。 $y \neq 1$ として直線の傾き $m$ に着目するため式を変形すると、以下のようになる。

$$y = -\frac{1}{\sqrt{a}}x + 1$$

定点 $Q(0, 1)$ を通る直線が、弧 $C$ 上の点 $P(x, y)$ を通るときの傾き $m = -\frac{1}{\sqrt{a}}$ の変化を考える。

(i) 直線が点 $A(1, 0)$ を通るとき 傾きは $m = \frac{0-1}{1-0} = -1$ である。

(ii) 直線が点 $B\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ を通るとき 傾きは $m = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}-0} = 1-\sqrt{2}$ である。

点 $P$ が弧 $C$ 上を $A$ から $B$ へ動くとき、直線 $QP$ の傾きは単調に増加する。したがって、直線と弧 $C$ が共有点をもつための傾きの条件は、以下のようになる。

$$-1 \leqq -\frac{1}{\sqrt{a}} \leqq 1-\sqrt{2}$$

各辺に $-1$ を掛ける。

$$\sqrt{2}-1 \leqq \frac{1}{\sqrt{a}} \leqq 1$$

$a > 0$ より各辺は正であるから、逆数をとって不等号の向きを反転させる。

$$1 \leqq \sqrt{a} \leqq \frac{1}{\sqrt{2}-1}$$

右辺を有利化する。

$$1 \leqq \sqrt{a} \leqq \sqrt{2}+1$$

各辺は正であるから、2乗して以下の結果を得る。

$$1 \leqq a \leqq 3+2\sqrt{2}$$

解法3

三角関数の合成を用いて解く。 方程式の左辺を合成する。

$$\sqrt{a+1} \left( \frac{1}{\sqrt{a+1}}\cos\theta + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}}\sin\theta \right) = \sqrt{a}$$

ここで、$\cos\alpha = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}}, \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{a+1}}$ を満たす角 $\alpha$ を導入する。$a > 0$ より $\cos\alpha > 0, \sin\alpha > 0$ であるから、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ としてよい。これを用いると方程式は次のように変形できる。

$$\sqrt{a+1}\sin(\theta+\alpha) = \sqrt{a}$$

$$\sin(\theta+\alpha) = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}}$$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}}$ であるから、$\sin(\theta+\alpha) = \cos\alpha$ となる。 さらに、$\cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ の関係を用いると、方程式は以下のようになる。

$$\sin(\theta+\alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるため、$\theta+\alpha$ のとりうる範囲は以下の通りである。

$$\alpha \leqq \theta+\alpha \leqq \frac{\pi}{4}+\alpha$$

また、$0 < \frac{\pi}{2}-\alpha < \frac{\pi}{2}$ である。この範囲において $\sin$ の等式が成り立つためには、以下のいずれかが必要である。

(ア) $\theta+\alpha = \frac{\pi}{2}-\alpha$ (イ) $\theta+\alpha = \pi - \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \frac{\pi}{2}+\alpha$

(イ) の場合、$\theta = \frac{\pi}{2}$ となり、$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ を満たさないため不適である。 したがって (ア) のみが適し、$\theta = \frac{\pi}{2}-2\alpha$ となる。 これが $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲に存在するための条件は、

$$0 \leqq \frac{\pi}{2}-2\alpha \leqq \frac{\pi}{4}$$

各辺から $\frac{\pi}{2}$ を引く。

$$-\frac{\pi}{2} \leqq -2\alpha \leqq -\frac{\pi}{4}$$

$-2$ で割り、不等号の向きを反転させる。

$$\frac{\pi}{8} \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{4}$$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ の範囲において $y = \tan x$ は単調増加であるから、

$$\tan\frac{\pi}{8} \leqq \tan\alpha \leqq \tan\frac{\pi}{4}$$

ここで、$\alpha$ の定義より $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{\sqrt{a}}$ である。 また、半角の公式より $\tan\frac{\pi}{8}$ を求める。

$$\tan^2\frac{\pi}{8} = \frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{1+\cos\frac{\pi}{4}} = \frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{2}-1)^2$$

$\tan\frac{\pi}{8} > 0$ であるから、$\tan\frac{\pi}{8} = \sqrt{2}-1$ である。$\tan\frac{\pi}{4} = 1$ と合わせて不等式に代入する。

$$\sqrt{2}-1 \leqq \frac{1}{\sqrt{a}} \leqq 1$$

逆数をとり、各辺を2乗して計算を進めると（解法2と同様の計算）、以下の範囲を得る。

$$1 \leqq a \leqq 3+2\sqrt{2}$$

解説

三角関数を含む方程式の解の存在条件を問う典型問題である。

解法1のように同値変形を用いて $\sin\theta$ （または $\cos\theta$）の1次方程式に帰着させるのが、多くの場合において最も計算が少なく確実な手法である。両辺を2乗する際に、両辺の符号が一致していることの確認（同値性の担保）を怠らないようにしたい。

解法2は視覚的に分かりやすく、図形と方程式の融合問題の解法として非常に有用である。直線の通過する定点を見抜くことが鍵となる。

解法3の「三角関数の合成」は、本問の形を見た際の初手として最も自然な発想かもしれない。ただし、合成後の位相の範囲や方程式の解の吟味において、論理の漏れが生じやすいため慎重な処理が求められる。

答え

$$1 \leqq a \leqq 3+2\sqrt{2}$$