九州大学 1971年 理系 第3問 解説

方針・初手

方程式 $f(x)=0$ を解いて最大の解 $b$ を $a$ を用いて表すことと、定積分 $\int_0^b f(x) dx = 0$ を計算することが基本の方針となる。 ただし、積分計算の後に $b$ を直接代入すると無理式の計算が煩雑になるため、$b$ が $f(b)=0$ を満たすことを利用し、積分結果の式から $a$ を消去して $b$ の方程式に帰着させる工夫が有効である。

解法1

方程式 $f(x) = 0$ すなわち $x^3 - 2x^2 + (1-a)x = 0$ を解く。 左辺を因数分解すると、

$$x(x^2 - 2x + 1 - a) = 0$$

となるため、$x = 0$ または $x^2 - 2x + 1 - a = 0$ である。 後者の2次方程式は $(x-1)^2 = a$ と変形でき、$a>0$ であるから $x = 1 \pm \sqrt{a}$ となる。

したがって、$f(x)=0$ の実数解は $x = 0, 1-\sqrt{a}, 1+\sqrt{a}$ の3つである。 ここで $a>0$ より $\sqrt{a} > 0$ であるから、$1+\sqrt{a} > 1 > 0$ かつ $1+\sqrt{a} > 1-\sqrt{a}$ が成り立つ。 よって、これらの解のうち最大のものは $b = 1+\sqrt{a}$ である。

また、$b$ は $x^2 - 2x + 1 - a = 0$ の解であるから、

$$b^2 - 2b + 1 - a = 0$$

を満たす。これを変形すると、

$$1 - a = 2b - b^2$$

となる。

次に、条件 $\int_0^b f(x) dx = 0$ を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^b (x^3 - 2x^2 + (1-a)x) dx &= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1-a}{2}x^2 \right]_0^b \\ &= \frac{1}{4}b^4 - \frac{2}{3}b^3 + \frac{1-a}{2}b^2 \end{aligned}$$

これが $0$ に等しいので、

$$\frac{1}{4}b^4 - \frac{2}{3}b^3 + \frac{1-a}{2}b^2 = 0$$

この式の $1-a$ に、先ほど導いた $1 - a = 2b - b^2$ を代入する。

$$\begin{aligned} \frac{1}{4}b^4 - \frac{2}{3}b^3 + \frac{2b - b^2}{2}b^2 &= 0 \\ \frac{1}{4}b^4 - \frac{2}{3}b^3 + b^3 - \frac{1}{2}b^4 &= 0 \\ -\frac{1}{4}b^4 + \frac{1}{3}b^3 &= 0 \\ -b^3 \left( \frac{1}{4}b - \frac{1}{3} \right) &= 0 \end{aligned}$$

$b = 1+\sqrt{a} > 0$ であるから、$b^3 \neq 0$ である。両辺を $-b^3$ で割って、

$$\frac{1}{4}b - \frac{1}{3} = 0$$

これを解いて、

$$b = \frac{4}{3}$$

$b = 1+\sqrt{a}$ であったから、

$$1 + \sqrt{a} = \frac{4}{3}$$

$$\sqrt{a} = \frac{1}{3}$$

両辺を2乗して、

$$a = \frac{1}{9}$$

これは $a>0$ の条件を満たす。

解説

高次方程式の解の一部を定積分の上端・下端に持つ問題では、「積分対象の文字式を、解であることを利用して次数を下げる（または文字を減らす）」という処理が定番である。 本問では定積分の結果に $1-a$ が含まれており、ここに無理式である $b = 1+\sqrt{a}$ をそのまま代入すると計算が非常に煩雑になり、ミスを誘発しやすい。 $b$ が方程式 $x^2 - 2x + 1 - a = 0$ の解であることを利用し、$1-a$ を $b$ の2次式で置き換えて $b$ だけの方程式に帰着させるのが、スムーズに正答へたどり着くためのポイントである。

答え

$$a = \frac{1}{9}$$