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九州大学 1971年理系第6問解説

方針・初手

点 $P(0, 1)$ を通る直線を $y = mx + 1$ とおき、放物線と接することから判別式を用いて接線の傾き $m$ を求める。得られた接線の方程式から $x$ 軸との交点 $Q, R$ の座標を求め、底辺 $QR$ の長さと高さを考慮して三角形の面積を $a$ の関数として表し、微分を用いて最小値を調べる。

解法1

(1)

点 $P(0, 1)$ を通る直線は $y$ 軸に平行ではないため、傾きを $m$ として $y = mx + 1$ とおける。

この直線が放物線 $y = 4ax(1 - x) = -4ax^2 + 4ax$ と接するとき、これらを連立して得られる $x$ についての2次方程式

$$-4ax^2 + 4ax = mx + 1$$

すなわち

$$4ax^2 + (m - 4a)x + 1 = 0$$

が重解をもつ。$a > 0$ より $x^2$ の係数は $0$ ではないため、この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ が成り立つ。

$$D = (m - 4a)^2 - 4 \cdot 4a \cdot 1 = 0$$

これを解くと、

$$(m - 4a)^2 = 16a$$

$a > 0$ であるから平方根をとると実数となり、

$$m - 4a = \pm 4\sqrt{a}$$

$$m = 4a \pm 4\sqrt{a}$$

よって、求める接線の方程式は以下のようになる。

$$y = (4a \pm 4\sqrt{a})x + 1$$

(2)

(1) で求めた2本の接線の傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ （$m_1 > m_2$）とする。

$$m_1 = 4a + 4\sqrt{a}, \quad m_2 = 4a - 4\sqrt{a}$$

これらが $x$ 軸（$y = 0$）と交わる交点 $Q, R$ の $x$ 座標は、それぞれ $x = -\frac{1}{m_1}, -\frac{1}{m_2}$ である。

ここで $0 < a < 1$ より $0 < \sqrt{a} < 1$ であるから、$\sqrt{a} + 1 \neq 0$ かつ $\sqrt{a} - 1 \neq 0$ となり、$m_1 \neq 0$ かつ $m_2 \neq 0$ であることは保証されている。

したがって、線分 $QR$ の長さは

$$QR = \left| -\frac{1}{m_1} - \left( -\frac{1}{m_2} \right) \right| = \frac{|m_1 - m_2|}{|m_1 m_2|}$$

ここで分子と分母のそれぞれの式を計算する。

$$m_1 - m_2 = (4a + 4\sqrt{a}) - (4a - 4\sqrt{a}) = 8\sqrt{a}$$

$$m_1 m_2 = (4a + 4\sqrt{a})(4a - 4\sqrt{a}) = 16a^2 - 16a = 16a(a - 1)$$

$0 < a < 1$ であるから $a - 1 < 0$ であり、$m_1 m_2 < 0$ となる。ゆえに絶対値は符号が反転して以下のようになる。

$$|m_1 m_2| = -16a(a - 1) = 16a(1 - a)$$

これを用いると $QR$ の長さは

$$QR = \frac{8\sqrt{a}}{16a(1 - a)} = \frac{1}{2\sqrt{a}(1 - a)}$$

$\triangle PQR$ の面積を $S$ とすると、底辺が $QR$、高さは点 $P$ の $y$ 座標の絶対値である $1$ なので、

$$S = \frac{1}{2} \cdot QR \cdot 1 = \frac{1}{4\sqrt{a}(1 - a)}$$

$S$ が最小となるのは、分母の $f(a) = \sqrt{a}(1 - a)$ が最大となるときである。

$f(a) = a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{3}{2}}$ を $a$ について微分すると、

$$f'(a) = \frac{1}{2}a^{-\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}a^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - 3a}{2\sqrt{a}}$$

$f'(a) = 0$ とすると、$a = \frac{1}{3}$ となる。

$0 < a < 1$ における $f(a)$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} a & (0) & \cdots & \frac{1}{3} & \cdots & (1) \\ \hline f'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline f(a) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}$$

これより、$f(a)$ は $a = \frac{1}{3}$ で最大となり、$S$ は最小となる。

よって、求める $a$ の値は $a = \frac{1}{3}$ である。