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九州大学 2012年文系第2問解説

方針・初手

(1) は、導関数を用いて接線の傾きが $t$ となる $x$ の方程式を作成し、その実数解の個数を判別式で調べる。
(2) は、接点の $x$ 座標 $p, q$ を方程式の解とし、解と係数の関係を利用して 2 点の中点が $A(-1, 0)$ に一致することを示す。
(3) は、2点間の距離の 2 乗を $t$ で表して微積分を用いる方針か、平行移動を利用して式を簡略化する方針が考えられる。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 + 3x^2 + x - 1$ より、導関数は次のようになる。

$$ f'(x) = 3x^2 + 6x + 1 $$

曲線 $C$ 上の点 $(s, f(s))$ における接線の傾きが $t$ であるとすると、$f'(s) = t$ より以下の式が成り立つ。

$$ 3s^2 + 6s + 1 - t = 0 $$

この $s$ についての 2 次方程式の判別式を $D$ とすると、次のように計算できる。

$$ \frac{D}{4} = 3^2 - 3(1 - t) = 3(t + 2) $$

条件より $t \geqq 0$ であるから、$t + 2 > 0$ となり、$D > 0$ が成り立つ。したがって、この 2 次方程式は異なる 2 つの実数解をもつため、傾きが $t$ である接線は 2 本存在する。

(2)

傾きが $t$ である 2 本の接線の接点の $x$ 座標 $p, q$ は、方程式 $3x^2 + 6x + 1 - t = 0$ の異なる 2 つの実数解である。解と係数の関係より、以下の関係式が成り立つ。

$$ \begin{aligned} p + q &= -2 \\ pq &= \frac{1 - t}{3} \end{aligned} $$

2 点 $P(p, f(p))$、$Q(q, f(q))$ の中点を $M(x_M, y_M)$ とすると、それぞれの座標は次のように表せる。

$$ \begin{aligned} x_M &= \frac{p + q}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \\ y_M &= \frac{f(p) + f(q)}{2} \end{aligned} $$

ここで、分子の $f(p) + f(q)$ を計算する。

$$ f(p) + f(q) = (p^3 + q^3) + 3(p^2 + q^2) + (p + q) - 2 $$

対称式を変形して、先ほどの解と係数の関係を代入する。

$$ \begin{aligned} p^2 + q^2 &= (p + q)^2 - 2pq = 4 - 2pq \\ p^3 + q^3 &= (p + q)^3 - 3pq(p + q) = -8 + 6pq \end{aligned} $$

これらを用いて $f(p) + f(q)$ を整理する。

$$ f(p) + f(q) = (-8 + 6pq) + 3(4 - 2pq) - 2 - 2 = 0 $$

ゆえに $y_M = 0$ となる。以上より、線分 $PQ$ の中点 $M$ の座標は $(-1, 0)$ となり、点 $A$ と一致する。したがって、点 $P$ と点 $Q$ は点 $A(-1, 0)$ に関して対称の位置にある。

(3)

2 点間の距離の 2 乗 $PQ^2$ を計算する。

$$ PQ^2 = (q - p)^2 + (f(q) - f(p))^2 $$

ここで、$f(q) - f(p)$ を因数分解する。

$$ \begin{aligned} f(q) - f(p) &= (q^3 - p^3) + 3(q^2 - p^2) + (q - p) \\ &= (q - p)(q^2 + pq + p^2 + 3p + 3q + 1) \end{aligned} $$

$p + q = -2$ を用いて括弧内を整理する。

$$ \begin{aligned} q^2 + pq + p^2 + 3(p + q) + 1 &= (p + q)^2 - pq + 3(-2) + 1 \\ &= 4 - pq - 5 \\ &= -1 - pq \end{aligned} $$

$pq = \frac{1 - t}{3}$ を代入する。

$$ -1 - pq = -1 - \frac{1 - t}{3} = \frac{t - 4}{3} $$

したがって、$f(q) - f(p) = (q - p) \left( \frac{t - 4}{3} \right)$ となるので、$PQ^2$ は次のように表せる。

$$ PQ^2 = (q - p)^2 + (q - p)^2 \left( \frac{t - 4}{3} \right)^2 = (q - p)^2 \left( \frac{t^2 - 8t + 25}{9} \right) $$

また、$(q - p)^2$ は解と係数の関係を用いて次のように計算できる。

$$ (q - p)^2 = (p + q)^2 - 4pq = 4 - 4\left(\frac{1 - t}{3}\right) = \frac{4(t + 2)}{3} $$

これらを代入して整理する。

$$ PQ^2 = \frac{4(t + 2)}{3} \cdot \frac{t^2 - 8t + 25}{9} = \frac{4}{27} (t^3 - 6t^2 + 9t + 50) $$

$g(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 50$ とおくと、導関数は次のようになる。

$$ g'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) $$

$t \geqq 0$ における $g(t)$ の増減表は次の通りである。

$t$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$g'(t)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(t)$	$50$	$\nearrow$	$54$	$\searrow$	$50$	$\nearrow$

増減表より、$g(t)$ は $t = 0, 3$ のとき最小値 $50$ をとる。よって、$PQ^2$ の最小値は $\frac{4}{27} \times 50 = \frac{200}{27}$ である。距離 $PQ \geqq 0$ より、$PQ$ の最小値は次のようになる。

$$ \sqrt{\frac{200}{27}} = \frac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{9} $$

最小値を与えるときの $p, q$ は、$t = 0, 3$ のときの方程式 $3x^2 + 6x + 1 - t = 0$ の解である。

(i) $t = 0$ のとき $3x^2 + 6x + 1 = 0$ を解くと $x = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ $p < q$ より、$p = -1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, q = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ である。

(ii) $t = 3$ のとき $3x^2 + 6x - 2 = 0$ を解くと $x = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{3} = -1 \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$ $p < q$ より、$p = -1 - \frac{\sqrt{15}}{3}, q = -1 + \frac{\sqrt{15}}{3}$ である。

解法2

（(1) は解法 1 と同様のため省略し、(2) および (3) において、平行移動と 3 次関数のグラフの対称性を利用する解法を示す。）

(2)

$f''(x) = 6x + 6$ であり、$f''(x) = 0$ となるのは $x = -1$ のときである。 $f(-1) = 0$ より、曲線 $C$ は変曲点 $A(-1, 0)$ をもつ。 3 次関数のグラフは変曲点に関して点対称であるから、曲線 $C$ 上の点 $P$ と点 $A$ に関して対称な点を $P'$ とすると、$P'$ も曲線 $C$ 上にある。点対称移動によって接線の傾きは保たれるため、$P'$ における接線の傾きも $t$ となる。 (1) より、傾きが $t$ となる接点は 2 本しか存在せず、その接点が $P$ と $Q$ であるから、$P'$ は $Q$ と一致する。したがって、点 $P$ と点 $Q$ は点 $A(-1, 0)$ に関して対称の位置にある。

(3)

曲線 $C$ を $x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動して得られる曲線を $C'$ とすると、点 $A(-1, 0)$ は原点 $O(0, 0)$ に移る。移動後の関数 $y = h(X)$ は、$x = X - 1$ を代入して次のように求まる。

$$ h(X) = f(X - 1) = (X - 1)^3 + 3(X - 1)^2 + (X - 1) - 1 = X^3 - 2X $$

点 $P, Q$ は、この平行移動によって $C'$ 上の点 $P', Q'$ に移る。 $P, Q$ 間の距離は $P', Q'$ 間の距離と等しい。また、$P', Q'$ は原点に関して対称であるから、$PQ = 2 OQ'$ が成り立つ。 $Q'$ の $X$ 座標を $u$ とすると、$u = q + 1$ であり $p < q$ と $p + q = -2$ より $u > 0$ である。点 $Q'$ における接線の傾きも $t$ であるから、$h'(u) = 3u^2 - 2 = t$ より以下の式を得る。

$$ u^2 = \frac{t + 2}{3} $$

$t \geqq 0$ より $u^2 \geqq \frac{2}{3}$ である。 $OQ'^2$ を計算すると次のようになる。

$$ OQ'^2 = u^2 + (u^3 - 2u)^2 = u^6 - 4u^4 + 5u^2 $$

ここで $v = u^2$ とおくと、$v \geqq \frac{2}{3}$ であり、これを $v$ の関数 $L(v)$ とおく。

$$ L(v) = v^3 - 4v^2 + 5v $$

微分すると次のようになる。

$$ L'(v) = 3v^2 - 8v + 5 = (3v - 5)(v - 1) $$

$v \geqq \frac{2}{3}$ における $L(v)$ の増減表は次の通りである。

$v$	$\frac{2}{3}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$\frac{5}{3}$	$\cdots$
$L'(v)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$L(v)$	$\frac{50}{27}$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$\frac{50}{27}$	$\nearrow$

$v = \frac{2}{3}$ および $v = \frac{5}{3}$ のとき極小かつ最小となり、その最小値は計算により $\frac{50}{27}$ と一致する。したがって、$OQ'^2$ の最小値は $\frac{50}{27}$ となるため、$PQ^2 = 4 OQ'^2$ の最小値は $\frac{200}{27}$ である。ゆえに、$PQ$ の最小値は $\frac{10\sqrt{6}}{9}$ である。

最小値を与える $u$ は $u = \sqrt{v}$ より $u = \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}$ である。 $q = u - 1, p = -u - 1$ より、求める $(p, q)$ の組は次の 2 つになる。

$$ (p, q) = \left(-1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right), \left(-1 - \frac{\sqrt{15}}{3}, -1 + \frac{\sqrt{15}}{3}\right) $$

解説

この問題は、微分法と 3 次関数のグラフの対称性をテーマにした融合問題である。解法 1 のように、解と係数の関係を用いて立式し計算を進める方針は標準的であり、手堅く解答に辿り着くことができる。一方、解法 2 のように「3 次関数のグラフは変曲点に関して点対称である」という性質に着目し、平行移動によって変曲点を原点に移すことで、計算量を劇的に削減することができる。特に (3) においては、関数が奇関数となることで式が非常にシンプルになり、計算ミスを防ぐうえでも有効なアプローチとなる。