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九州大学 1977年理系第5問解説

方針・初手

(1) は絶対値や場合分けを含む関数の定積分であるため、定義域に従って積分区間を分割し、それぞれ部分積分を用いて計算する。 (2) は被積分関数に $f(x-2n)$ という平行移動の形が含まれているため、置換積分を用いて (1) の $S_0$ の形を作り出すことを目指す。 (3) は (2) で得られた一般項を用いて無限級数の和を計算する。等比数列の和となるため、公比の条件を確認したうえで無限等比級数の和の公式を適用する。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x)$ の定義より、積分区間 $[0, 2]$ を $[0, 1]$ と $[1, 2]$ に分割して定積分を計算する。

$$S_0 = \int_0^2 f(x)e^{-x} dx = \int_0^1 x e^{-x} dx + \int_1^2 (2-x)e^{-x} dx$$

それぞれの積分について、部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} \int x e^{-x} dx &= x(-e^{-x}) - \int 1 \cdot (-e^{-x}) dx \\ &= -xe^{-x} - e^{-x} + C \\ &= -(x+1)e^{-x} + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int (2-x) e^{-x} dx &= (2-x)(-e^{-x}) - \int (-1) \cdot (-e^{-x}) dx \\ &= (x-2)e^{-x} - \int e^{-x} dx \\ &= (x-2)e^{-x} + e^{-x} + C \\ &= (x-1)e^{-x} + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

これらを利用して定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 x e^{-x} dx &= \left[ -(x+1)e^{-x} \right]_0^1 \\ &= -2e^{-1} - (-1) \\ &= 1 - 2e^{-1} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_1^2 (2-x) e^{-x} dx &= \left[ (x-1)e^{-x} \right]_1^2 \\ &= e^{-2} - 0 \\ &= e^{-2} \end{aligned}$$

したがって、$S_0$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} S_0 &= (1 - 2e^{-1}) + e^{-2} \\ &= 1 - \frac{2}{e} + \frac{1}{e^2} \\ &= \frac{e^2 - 2e + 1}{e^2} \\ &= \frac{(e-1)^2}{e^2} \end{aligned}$$

(2)

$$S_n = \int_{2n}^{2n+2} f(x - 2n)e^{-x} dx$$

について、$t = x - 2n$ とおく。 $x$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$x : 2n \rightarrow 2n+2$ のとき $t : 0 \rightarrow 2$

また、$dx = dt$ であり、$x = t + 2n$ である。これを $S_n$ に代入して置換積分を行う。

$$\begin{aligned} S_n &= \int_0^2 f(t) e^{-(t+2n)} dt \\ &= \int_0^2 f(t) e^{-t} e^{-2n} dt \\ &= e^{-2n} \int_0^2 f(t) e^{-t} dt \end{aligned}$$

定積分の積分変数は自由に変更できるため、$\int_0^2 f(t) e^{-t} dt = \int_0^2 f(x) e^{-x} dx = S_0$ である。したがって、次が成り立つ。

$$S_n = e^{-2n} S_0 = e^{-2n} \frac{(e-1)^2}{e^2}$$

(3)

(2) で求めた関係式 $S_n = e^{-2n} S_0$ に $n=0$ を代入すると、$e^0 S_0 = S_0$ となり、この等式は $n=0$ のときも成り立つ。したがって、無限級数 $\sum_{n=0}^{\infty} S_n$ は、初項 $S_0$、公比 $e^{-2}$ の無限等比級数である。

ここで、公比 $e^{-2}$ は $0 < e^{-2} < 1$ を満たすため、この無限等比級数は収束する。その和は以下のようになる。

$$\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} S_n &= \frac{S_0}{1 - e^{-2}} \\ &= \frac{\frac{(e-1)^2}{e^2}}{1 - \frac{1}{e^2}} \\ &= \frac{\frac{(e-1)^2}{e^2}}{\frac{e^2 - 1}{e^2}} \\ &= \frac{(e-1)^2}{e^2 - 1} \\ &= \frac{(e-1)^2}{(e-1)(e+1)} \\ &= \frac{e-1}{e+1} \end{aligned}$$

解説

関数 $y=f(x)$ は区間 $[0, 2]$ で山型のグラフとなり、被積分関数 $f(x-2n)$ はそれを $x$ 軸の正の向きに $2n$ だけ平行移動したものである。これを $e^{-x}$ という減衰していく関数に掛けて積分しているため、各区間 $[2n, 2n+2]$ の積分値 $S_n$ は、元の $S_0$ に減衰率 $e^{-2n}$ を掛けた値になる。置換積分により関数の平行移動の性質をうまく引き出して漸化式や一般項を導く手法は、大学入試の微積分において頻出の典型処理である。無限等比級数の和を求める際は、公比が収束条件を満たしていることを一言添えるのが論述の基本である。