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九州大学 1978年理系第5問解説

方針・初手

与えられた式を展開し、$x$ と $y$ について整理する。係数の符号を確認したうえで、条件 $xy \geqq 1$ を用いて1変数関数の最小値問題に帰着させる。式の形から、相加平均と相乗平均の大小関係を利用するのが有効である。

解法1

最小化したい式を $K$ とおくと、

$$K = \alpha(x+y) + \beta(x-y)$$

$$= (\alpha+\beta)x + (\alpha-\beta)y$$

と変形できる。

条件 $\alpha > \beta > 0$ より、

$$\alpha+\beta > 0$$

$$\alpha-\beta > 0$$

である。また、$x > 0$ と $xy \geqq 1$ より、

$$y \geqq \frac{1}{x} > 0$$

である。

ここで、$x$ を固定して考えると、$\alpha-\beta > 0$ であるから、$K$ を最小にするには $y$ をできるだけ小さくすればよい。したがって、$y = \frac{1}{x}$ のときに $K$ は最小となる。

このとき、$K$ は $x$ のみの関数として表され、

$$K = (\alpha+\beta)x + \frac{\alpha-\beta}{x}$$

となる。

$x > 0, \alpha+\beta > 0, \alpha-\beta > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$(\alpha+\beta)x + \frac{\alpha-\beta}{x} \geqq 2\sqrt{(\alpha+\beta)x \cdot \frac{\alpha-\beta}{x}}$$

$$= 2\sqrt{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}$$

$$= 2\sqrt{\alpha^2-\beta^2}$$

が成り立つ。

等号が成立するのは、

$$y = \frac{1}{x}$$

かつ

$$(\alpha+\beta)x = \frac{\alpha-\beta}{x}$$

のときである。第2式より、

$$x^2 = \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}$$

$x > 0$ であるから、

$$x = \sqrt{\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}}$$

となる。このとき、

$$y = \frac{1}{x} = \sqrt{\frac{\alpha+\beta}{\alpha-\beta}}$$

となり、$x > 0, xy \geqq 1$ の条件を満たしている。

したがって、$K$ は最小値 $2\sqrt{\alpha^2-\beta^2}$ をとる。

解法2

解法1と同様に、式を変形し $y = \frac{1}{x}$ のときに最小となることを確認する。

このときの値を $g(x)$ とおくと、

$$g(x) = (\alpha+\beta)x + \frac{\alpha-\beta}{x} \quad (x > 0)$$

である。これを $x$ で微分すると、

$$g'(x) = (\alpha+\beta) - \frac{\alpha-\beta}{x^2}$$

$$= \frac{(\alpha+\beta)x^2 - (\alpha-\beta)}{x^2}$$

となる。$x > 0$ において $g'(x) = 0$ となる $x$ の値は、

$$x = \sqrt{\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}}$$

である。

$x > 0$ における $g(x)$ の増減を調べると、 $0 < x < \sqrt{\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}}$ のとき $g'(x) < 0$ $x > \sqrt{\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}}$ のとき $g'(x) > 0$ となるため、$g(x)$ は $x = \sqrt{\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}}$ において極小かつ最小となる。

このときの最小値は、

$$g\left(\sqrt{\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}}\right) = (\alpha+\beta)\sqrt{\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}} + (\alpha-\beta)\sqrt{\frac{\alpha+\beta}{\alpha-\beta}}$$

$$= \sqrt{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)} + \sqrt{(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)}$$

$$= 2\sqrt{\alpha^2-\beta^2}$$

である。このとき、$y$ の値は、

$$y = \frac{1}{x} = \sqrt{\frac{\alpha+\beta}{\alpha-\beta}}$$

である。

解説

与えられた目的関数を展開し、$x$ と $y$ それぞれの係数が正であることを確認することが最初のポイントである。係数が正であれば、条件 $xy \geqq 1$ の下で $y$ をなるべく小さくする（すなわち境界である $y = \frac{1}{x}$ をとる）ことで式全体が最小化されることが論理的に説明できる。その後は、相加平均と相乗平均の大小関係、あるいは微分を用いて1変数関数の最小値を求める典型的な流れに持ち込むことができる。