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九州大学 1987年理系第3問解説

方針・初手

(1) 領域 $D$ を図示し、$x$ 軸まわりの回転体の体積を定積分で求めます。点 $P(s, t)$ がだ円上の点であるという条件式を利用して、計算結果を整理します。

(2) だ円上の点における接線の方程式を用いて点 $R$ の座標を求めます。三角形 $PQR$ を回転させてできる立体は円錐になるため、その体積を幾何的に求めて(1)の結果と等置し、$s$ についての方程式を解きます。

解法1

(1)

点 $P(s, t)$ はだ円 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点であるから、次の関係式が成り立つ。

$$ \frac{s^2}{a^2} + \frac{t^2}{b^2} = 1 $$

$$ t^2 = b^2 \left( 1 - \frac{s^2}{a^2} \right) $$

領域 $D$ は、連立不等式 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leqq 1$ かつ $0 \leqq x \leqq \frac{s}{t}y$ が表す領域である。 $0 < s < a$ より $x \geqq 0$ であるため、$t > 0$ と $t < 0$ の場合で領域の位置は $x$ 軸について対称となる。回転体の体積は $t$ の符号によらず等しいため、以下 $t > 0$ の場合について考える。

$t > 0$ のとき、条件 $0 \leqq x \leqq \frac{s}{t}y$ は $x \geqq 0$ かつ $y \geqq \frac{t}{s}x$ を意味する。したがって領域 $D$ は、第1象限において、だ円の弧 $y = b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$、直線 $y = \frac{t}{s}x$、および $y$ 軸で囲まれた図形である。

これを $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を $V_1$ とすると、

$$ V_1 = \pi \int_{0}^{s} \left\{ \left( b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \right)^2 - \left( \frac{t}{s}x \right)^2 \right\} dx $$

$$ = \pi \int_{0}^{s} \left\{ b^2 \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) - \frac{t^2}{s^2}x^2 \right\} dx $$

$$ = \pi \left[ b^2 \left( x - \frac{x^3}{3a^2} \right) - \frac{t^2}{s^2} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{s} $$

$$ = \pi \left( b^2 s - \frac{b^2 s^3}{3a^2} - \frac{t^2 s}{3} \right) $$

ここで $t^2 = b^2 \left( 1 - \frac{s^2}{a^2} \right)$ を代入して整理する。

$$ V_1 = \pi \left\{ b^2 s - \frac{b^2 s^3}{3a^2} - \frac{s}{3} b^2 \left( 1 - \frac{s^2}{a^2} \right) \right\} $$

$$ = \pi \left( b^2 s - \frac{b^2 s^3}{3a^2} - \frac{b^2 s}{3} + \frac{b^2 s^3}{3a^2} \right) $$

$$ = \frac{2}{3} \pi b^2 s $$

(2)

点 $P(s, t)$ におけるだ円 $C$ の接線の方程式は、

$$ \frac{s x}{a^2} + \frac{t y}{b^2} = 1 $$

この接線と $x$ 軸との交点 $R$ の $x$ 座標は、$y = 0$ を代入して、

$$ \frac{s x}{a^2} = 1 \iff x = \frac{a^2}{s} $$

よって、$R \left( \frac{a^2}{s}, 0 \right)$ である。 $0 < s < a$ より $\frac{a^2}{s} > a > s$ であるから、点 $R$ は点 $Q(s, 0)$ の右側にある。

三角形 $PQR$ は $\angle PQR = 90^\circ$ の直角三角形であるから、これを $x$ 軸のまわりに回転してできる立体は、底面の半径が $|t|$、高さが $RQ = \frac{a^2}{s} - s$ の円錐となる。この円錐の体積を $V_2$ とすると、

$$ V_2 = \frac{1}{3} \pi t^2 \left( \frac{a^2}{s} - s \right) $$

$$ = \frac{1}{3} \pi \cdot b^2 \left( 1 - \frac{s^2}{a^2} \right) \cdot \frac{a^2 - s^2}{s} $$

$$ = \frac{\pi b^2}{3 a^2 s} (a^2 - s^2)^2 $$

条件より $V_1 = V_2$ であるから、

$$ \frac{2}{3} \pi b^2 s = \frac{\pi b^2}{3 a^2 s} (a^2 - s^2)^2 $$

両辺に $\frac{3 a^2 s}{\pi b^2}$ を掛けて整理する。

$$ 2 a^2 s^2 = (a^2 - s^2)^2 $$

$$ 2 a^2 s^2 = a^4 - 2 a^2 s^2 + s^4 $$

$$ s^4 - 4 a^2 s^2 + a^4 = 0 $$

$s^2$ についての2次方程式として解の公式を用いると、

$$ s^2 = \frac{4 a^2 \pm \sqrt{16 a^4 - 4 a^4}}{2} = (2 \pm \sqrt{3}) a^2 $$

$0 < s < a$ より $0 < s^2 < a^2$ である。 $2 + \sqrt{3} > 1$ より $s^2 = (2 + \sqrt{3}) a^2$ は不適。 $0 < 2 - \sqrt{3} < 1$ より $s^2 = (2 - \sqrt{3}) a^2$ は条件を満たす。 $s > 0, a > 0$ であるから、

$$ s = a \sqrt{2 - \sqrt{3}} = a \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} a $$

解説

回転体の体積を求める典型的な問題です。(1)の積分計算では、$s$ と $t$ がだ円上の点であるという関係式を用いることで、式が非常にシンプルにまとまります。(2)は回転体が円錐になるため、積分を計算し直す必要はありません。(1)のきれいな結果と組み合わせることで、$s$ についての方程式も解きやすい形に帰着します。最後の二重根号を外す処理を忘れないようにしましょう。