トップ› 九州大学› 1990年› 理系第5問

九州大学 1990年理系第5問解説

方針・初手

点 $P$ の時刻 $t$ における位置 $p(t)$ は、速度 $v(t)$ の定積分を用いて $p(t) = \int_{0}^{t} v(s) ds$ と表される（初期位置 $p(0) = 0$）。 (1) は導関数である $v(t)$ の符号変化を調べ、$p(t)$ が最小となる時刻とその位置を求める。 (2) は $t \geqq 8$ における $p(t)$ の式を具体的に求め、極限を計算する。

解法1

(1)

時刻 $t$ における点 $P$ の位置を $p(t)$ とする。点 $P$ は $t=0$ に原点 $O$ を出発するので、$p(0)=0$ である。 $p(t)$ の導関数は速度 $v(t)$ であり、$p'(t) = v(t)$ が成り立つ。

$v(t)$ の符号を調べる。 $0 \leqq t \leqq 8$ のとき、$v(t) = t - 3$ であるから、 $0 \leqq t < 3$ のとき、$v(t) < 0$ $t = 3$ のとき、$v(t) = 0$ $3 < t \leqq 8$ のとき、$v(t) > 0$ となる。

$t \geqq 8$ のとき、$v(t) = 5e^{8-t} > 0$ である。

したがって、$t \geqq 0$ における $p(t)$ の増減は以下のようになる。 $0 \leqq t < 3$ のとき、$p(t)$ は単調減少 $t = 3$ のとき、$p(t)$ は極小かつ最小 $t > 3$ のとき、$p(t)$ は単調増加

ゆえに、$p(t)$ は $t=3$ のとき最小値をとる。すなわち、点 $P$ がもっとも左にくる時刻は $t = 3$ である。そのときの位置 $p(3)$ は、

$$\begin{aligned} p(3) &= \int_{0}^{3} v(t) dt \\ &= \int_{0}^{3} (t - 3) dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2 - 3t \right]_{0}^{3} \\ &= \frac{9}{2} - 9 \\ &= -\frac{9}{2} \end{aligned}$$

(2)

まず、$t=8$ における位置 $p(8)$ を求める。

$$\begin{aligned} p(8) &= \int_{0}^{8} (t - 3) dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2 - 3t \right]_{0}^{8} \\ &= \frac{64}{2} - 24 \\ &= 8 \end{aligned}$$

次に、$t \geqq 8$ における $p(t)$ を求める。

$$\begin{aligned} p(t) &= p(8) + \int_{8}^{t} v(s) ds \\ &= 8 + \int_{8}^{t} 5e^{8-s} ds \\ &= 8 + \left[ -5e^{8-s} \right]_{8}^{t} \\ &= 8 + \left( -5e^{8-t} - (-5e^{0}) \right) \\ &= 8 - 5e^{8-t} + 5 \\ &= 13 - 5e^{8-t} \end{aligned}$$

求める極限 $\lim_{t \to \infty} p(t)$ について、$t \to \infty$ のとき $8-t \to -\infty$ であるから $\lim_{t \to \infty} e^{8-t} = 0$ となる。

$$\begin{aligned} \lim_{t \to \infty} p(t) &= \lim_{t \to \infty} \left( 13 - 5e^{8-t} \right) \\ &= 13 - 5 \cdot 0 \\ &= 13 \end{aligned}$$

解説

速度 $v(t)$ は位置 $p(t)$ の時間微分（$p'(t) = v(t)$）であるという微積分と運動の基本事項を用いる問題である。 (1) では、位置がもっとも左にくる（$p(t)$ が最小になる）時刻を求めるために、関数 $p(t)$ の増減を導関数 $v(t)$ の符号から判断している。 (2) では、$t \geqq 8$ における位置 $p(t)$ を求める際、速度の関数が切り替わるため、基準点として $t=8$ の位置 $p(8)$ をまず定積分で計算し、そこに $t \geqq 8$ での移動距離を加算する手順を踏むと見通しがよい。極限の計算は指数関数の基本的な性質を用いている。