トップ› 東京大学› 1987年› 理系第2問

東京大学 1987年理系第2問解説

方針・初手

曲線 $C$ の方程式を求め、曲線 $y=\frac{1}{x} \ (x>0)$ と接する条件を立式する。 2つの曲線が $x=t$ で接する条件は、その点での関数の値が等しく、かつ微分係数が等しいことである。これを用いて $a, b$ を接点の $x$ 座標 $t$ を媒介変数として表し、その増減を調べることで軌跡の概形を描く。後半の「接点以外に共有点を持たない」条件は、連立して得られる3次方程式が $x>0$ の範囲において、接点以外の実数解を持たない条件（すなわち3重解となる条件）として処理する。

解法1

曲線 $C_1: y = x^2$ を $x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $b$ 平行移動した曲線 $C$ の方程式は、

$$ y = (x - a)^2 + b $$

曲線 $C$ と曲線 $y = \frac{1}{x} \ (x > 0)$ が点 $\left(t, \frac{1}{t}\right) \ (t > 0)$ で接するとする。 $f(x) = (x - a)^2 + b, \ g(x) = \frac{1}{x}$ とおくと、 $x = t$ で接する条件は、

$$ \begin{cases} f(t) = g(t) \\ f'(t) = g'(t) \end{cases} $$

が成り立つことである。$f'(x) = 2(x - a), \ g'(x) = -\frac{1}{x^2}$ であるから、

$$ \begin{cases} (t - a)^2 + b = \frac{1}{t} & \cdots \text{(1)} \\ 2(t - a) = -\frac{1}{t^2} & \cdots \text{(2)} \end{cases} $$

(2) より、

$$ a = t + \frac{1}{2t^2} \quad \cdots \text{(3)} $$

これを (1) に代入して、

$$ \left( -\frac{1}{2t^2} \right)^2 + b = \frac{1}{t} $$

$$ b = \frac{1}{t} - \frac{1}{4t^4} \quad \cdots \text{(4)} $$

点 $(a, b)$ の存在範囲は、 $t > 0$ における (3), (4) で表される曲線の軌跡である。 $a, b$ を $t$ で微分すると、

$$ \frac{da}{dt} = 1 - \frac{1}{t^3} = \frac{t^3 - 1}{t^3} $$

$$ \frac{db}{dt} = -\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t^5} = \frac{1 - t^3}{t^5} = -\frac{t^3 - 1}{t^5} $$

$t > 0$ における増減表は以下のようになる。

$t$	$(0)$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$(\infty)$
$\frac{da}{dt}$		$-$	$0$	$+$
$a$	$\infty$	$\searrow$	$\frac{3}{2}$	$\nearrow$	$\infty$
$\frac{db}{dt}$		$+$	$0$	$-$
$b$	$-\infty$	$\nearrow$	$\frac{3}{4}$	$\searrow$	$0$

極限を調べると、

$$ \lim_{t \to +0} a = \infty, \quad \lim_{t \to +0} b = -\infty $$

$$ \lim_{t \to \infty} a = \infty, \quad \lim_{t \to \infty} b = 0 $$

また、$\frac{db}{da} = \frac{\frac{db}{dt}}{\frac{da}{dt}} = -\frac{1}{t^2}$ より、 $t=1$ のとき接線の傾きは $-1$ である。したがって、点 $(a, b)$ の軌跡は、点 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right)$ を尖点として持ち、$a \to \infty$ において一方は $b=0$ ( $a$ 軸) に漸近し、もう一方は $b \to -\infty$ へと伸びる曲線となる。

次に、この二曲線が接する点以外に共有点を持たない条件を考える。共有点の $x$ 座標は、方程式 $(x - a)^2 + b = \frac{1}{x} \ (x > 0)$ の解である。分母を払って整理すると、

$$ x(x - a)^2 + bx - 1 = 0 $$

$$ x^3 - 2ax^2 + (a^2 + b)x - 1 = 0 $$

この 3 次方程式は $x = t \ (t > 0)$ で接する（重解をもつ）ので、左辺は $(x - t)^2$ を因数にもつ。もう 1 つの解を $x = k$ とおくと、恒等式として次が成り立つ。

$$ x^3 - 2ax^2 + (a^2 + b)x - 1 = (x - t)^2 (x - k) $$

両辺の定数項を比較すると、 $-1 = -t^2 k$ より $k = \frac{1}{t^2}$ である。 $t > 0$ であるから $k = \frac{1}{t^2} > 0$ となり、 $x = k$ もこの二曲線の $x > 0$ における共有点である。題意より、接する点以外に共有点を持たないため、この共有点 $x = k$ が接点 $x = t$ と一致しなければならない。よって、

$$ t = \frac{1}{t^2} $$

$$ t^3 = 1 $$

$t$ は実数であるから $t = 1$ のみである。このとき、(3), (4) に $t = 1$ を代入して、

$$ a = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

$$ b = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

解説

媒介変数表示された曲線の概形を描く典型問題と、共有点の条件を 3 次方程式の解と係数の関係（または恒等式）に帰着させる考え方を問う問題である。前半の図示においては、$a, b$ それぞれの微分を求めて増減表を作成し、極限の振る舞いから漸近的な形を捉えることが重要である。後半は「接する点以外に共有点を持たない」という条件をどう処理するかが鍵となる。分母を払って得られる 3 次方程式が、重解 $x=t$ と別の解 $x=k$ を持つとし、因数分解の形から $k$ を $t$ で表す手法は計算量を大幅に減らす有効なアプローチである。