大阪大学 2001年 理系 第2問 解説

方針・初手

曲線上の点における接線の方程式を立て、それが点 $(0, a)$ を通る条件を考える。 「接線がただ1つ引ける」かつ「接線がただ1点で接する」という条件を、接点の $x$ 座標に関する方程式の実数解の個数の条件に帰着させて解く。

解法1

$f(x) = x^4 + x^3 - 3x^2$ を $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x $$

となる。 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, t^4 + t^3 - 3t^2)$ における接線の方程式は、

$$ y - (t^4 + t^3 - 3t^2) = (4t^3 + 3t^2 - 6t)(x - t) $$

すなわち、

$$ y = (4t^3 + 3t^2 - 6t)x - 3t^4 - 2t^3 + 3t^2 $$

となる。 この接線が点 $(0, a)$ を通るから、$x = 0, y = a$ を代入して、

$$ a = -3t^4 - 2t^3 + 3t^2 $$

が成り立つ。これを満たす実数 $t$ が定まれば、対応する接点が定まる。

ここで、右辺を $g(t) = -3t^4 - 2t^3 + 3t^2$ とおく。 点 $(0, a)$ から引いた接線がただひとつ存在し、かつその接線がただ1点で曲線に接するという条件について考える。 もし $g(t) = a$ が2つ以上の実数解をもつ場合、それぞれに対応する接点が複数存在する。このとき、それらが異なる接線を与えれば「接線がただひとつ」という条件に反し、同じ接線を与えれば「ただ1点で接する（二重接線ではない）」という条件に反する。 したがって、題意を満たすための必要十分条件は、$g(t) = a$ を満たす実数 $t$ がただ1つ存在すること、すなわち、関数 $y = g(t)$ のグラフと直線 $y = a$ の共有点がただ1つになることである。

$g(t)$ を $t$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} g'(t) &= -12t^3 - 6t^2 + 6t \\ &= -6t(2t^2 + t - 1) \\ &= -6t(t + 1)(2t - 1) \end{aligned} $$

となる。 $g'(t) = 0$ となる $t$ の値は、$t = -1, 0, \frac{1}{2}$ である。 $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} t & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots \\ \hline g'(t) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline g(t) & \nearrow & 2 & \searrow & 0 & \nearrow & \frac{5}{16} & \searrow \end{array} $$

これと $\lim_{t \to \pm\infty} g(t) = -\infty$ であることから、$y = g(t)$ のグラフは $t = -1$ で極大値 $2$、$t = 0$ で極小値 $0$、$t = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{5}{16}$ をとる。

グラフの概形から、$y = g(t)$ と直線 $y = a$ の共有点がただ1つとなるのは、直線が最も高い極大値に接するときのみである。 よって、求める $a$ の値は、

$$ a = 2 $$

である。

解説

接線の本数と接点の個数の関係を問う典型問題である。 曲線外の点から引く接線の問題では、接点の $x$ 座標を $t$ とおいて方程式を立てるのが定石である。 一般に「接線の本数」と「接点 $t$ の方程式の実数解の個数」は必ずしも一致しない。異なる $t$ に対して同じ接線が引ける「二重接線」が存在する可能性があるためである。しかし、本問では「接線はただ1点でこの曲線に接する」という条件が明記されているため二重接線の可能性が排除され、素直に「接点 $t$ の個数 ＝ 1個」として解くことができる。

答え

$$ a = 2 $$