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九州大学 2009年理系第5問解説

方針・初手

点 $P$ は曲線 $y = e^x$ 上を動くため、任意の時刻 $t$ において $y(t) = e^{x(t)}$ が成り立つ。これを $t$ で微分することで、速度ベクトルの成分 $\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ の関係式を導く。これに速さの条件 $|\vec{v}| = 1$ を組み合わせることで、各成分を具体的に求めることができる。加速度ベクトルは速度ベクトルをさらに $t$ で微分することで得られるが、$\vec{v}$ の成分が $x$ の式として得られる場合、合成関数の微分法（連鎖律）を用いると計算が見通しよく進む。

解法1

(1)

点 $P$ は曲線 $y = e^x$ 上にあるので、時刻 $t$ における座標について以下が成り立つ。

$$ y(t) = e^{x(t)} $$

この両辺を $t$ で微分すると、合成関数の微分法より、

$$ \frac{dy}{dt} = e^{x(t)} \frac{dx}{dt} $$

$P$ が点 $(s, e^s)$ を通過する時刻においては $x(t) = s$ であるから、

$$ \frac{dy}{dt} = e^s \frac{dx}{dt} $$

速度ベクトル $\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$ について、条件 $|\vec{v}| = 1$ より、

$$ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 1 $$

ここに先ほどの関係式を代入すると、

$$ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(e^s \frac{dx}{dt}\right)^2 = 1 $$

$$ (1 + e^{2s}) \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = 1 $$

条件より $\frac{dx}{dt} > 0$ であるため、

$$ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}} $$

このとき、$\frac{dy}{dt}$ は、

$$ \frac{dy}{dt} = e^s \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}} = \frac{e^s}{\sqrt{1 + e^{2s}}} $$

したがって、求める速度ベクトルは、

$$ \vec{v} = \left( \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}}, \frac{e^s}{\sqrt{1 + e^{2s}}} \right) $$

(2)

(1) の議論は任意の時刻 $t$ において成り立つ。時刻 $t$ での $x$ 座標を単に $x$ とおくと、任意の時刻における $\frac{dx}{dt}$ と速度ベクトル $\vec{v}$ は以下のように表せる。

$$ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}} = (1 + e^{2x})^{-\frac{1}{2}} $$

$$ \vec{v} = \left( (1 + e^{2x})^{-\frac{1}{2}}, e^x (1 + e^{2x})^{-\frac{1}{2}} \right) $$

加速度ベクトル $\vec{\alpha}$ は $\vec{v}$ の各成分を $t$ で微分したものである。ここで、合成関数の微分法 $\frac{d}{dt} = \frac{dx}{dt} \frac{d}{dx}$ を用いる。 $x$ 成分について、

$$ \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left( (1 + e^{2x})^{-\frac{1}{2}} \right) = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{d}{dx} \left( (1 + e^{2x})^{-\frac{1}{2}} \right) $$

$$ = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}} \cdot \left( -\frac{1}{2} (1 + e^{2x})^{-\frac{3}{2}} \cdot 2e^{2x} \right) = -\frac{e^{2x}}{(1 + e^{2x})^2} $$

$y$ 成分について、積の微分法も併用して、

$$ \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left( e^x (1 + e^{2x})^{-\frac{1}{2}} \right) = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{d}{dx} \left( e^x (1 + e^{2x})^{-\frac{1}{2}} \right) $$

$$ = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}} \left\{ e^x (1 + e^{2x})^{-\frac{1}{2}} + e^x \cdot \left( -\frac{1}{2} (1 + e^{2x})^{-\frac{3}{2}} \cdot 2e^{2x} \right) \right\} $$

$$ = \frac{e^x}{1 + e^{2x}} - \frac{e^{3x}}{(1 + e^{2x})^2} = \frac{e^x(1 + e^{2x}) - e^{3x}}{(1 + e^{2x})^2} = \frac{e^x}{(1 + e^{2x})^2} $$

$P$ が $(s, e^s)$ を通過する時刻においては $x = s$ であるから、求める加速度ベクトルは、

$$ \vec{\alpha} = \left( -\frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^2}, \frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2} \right) $$

(3)

(2) の結果より、加速度ベクトルの大きさの2乗は、

$$ |\vec{\alpha}|^2 = \left( -\frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^2} \right)^2 + \left( \frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2} \right)^2 $$

$$ = \frac{e^{4s} + e^{2s}}{(1 + e^{2s})^4} = \frac{e^{2s}(e^{2s} + 1)}{(1 + e^{2s})^4} = \frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^3} $$

ここで、$X = e^{2s}$ とおく。$s$ は実数全体をとりうるため、$X > 0$ である。このとき、

$$ |\vec{\alpha}|^2 = \frac{X}{(1 + X)^3} $$

となる。右辺を $f(X)$ とおき、$X > 0$ における最大値を求める。

$$ f'(X) = \frac{1 \cdot (1 + X)^3 - X \cdot 3(1 + X)^2}{(1 + X)^6} = \frac{(1 + X) - 3X}{(1 + X)^4} = \frac{1 - 2X}{(1 + X)^4} $$

$f'(X) = 0$ となるのは $X = \frac{1}{2}$ のときである。 $X > 0$ において、 $0 < X < \frac{1}{2}$ のとき $f'(X) > 0$ $X > \frac{1}{2}$ のとき $f'(X) < 0$ となるから、$f(X)$ は $X = \frac{1}{2}$ で極大かつ最大となる。その最大値は、

$$ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^3} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{27}{8}} = \frac{4}{27} $$

$|\vec{\alpha}| \geqq 0$ であるため、$|\vec{\alpha}|^2$ が最大のとき $|\vec{\alpha}|$ も最大となる。したがって、$|\vec{\alpha}|$ の最大値は、

$$ \sqrt{\frac{4}{27}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9} $$

解法2

(2) の別解

任意の時刻 $t$ において、以下の2式が成り立つ。

$$ \frac{dy}{dt} = e^x \frac{dx}{dt} \quad \cdots \text{①} $$

$$ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 1 \quad \cdots \text{②} $$

これら両辺をさらに $t$ で微分する。②より、

$$ 2 \frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} + 2 \frac{dy}{dt} \frac{d^2y}{dt^2} = 0 \iff \frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dy}{dt} \frac{d^2y}{dt^2} = 0 \quad \cdots \text{③} $$

①より、

$$ \frac{d^2y}{dt^2} = e^x \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + e^x \frac{d^2x}{dt^2} \quad \cdots \text{④} $$

$P$ が $(s, e^s)$ を通過する時刻について考える。このとき $x=s$ であり、(1) より $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}}, \frac{dy}{dt} = \frac{e^s}{\sqrt{1 + e^{2s}}}$ である。これらを③に代入すると、

$$ \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}} \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{e^s}{\sqrt{1 + e^{2s}}} \frac{d^2y}{dt^2} = 0 $$

$$ \frac{d^2x}{dt^2} = -e^s \frac{d^2y}{dt^2} \quad \cdots \text{⑤} $$

④に $x=s$ と (1) の結果、および⑤を代入する。

$$ \frac{d^2y}{dt^2} = e^s \left(\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}}\right)^2 + e^s \left( -e^s \frac{d^2y}{dt^2} \right) $$

$$ \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{e^s}{1 + e^{2s}} - e^{2s} \frac{d^2y}{dt^2} $$

$$ (1 + e^{2s}) \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{e^s}{1 + e^{2s}} $$

$$ \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2} $$

これを⑤に代入して、

$$ \frac{d^2x}{dt^2} = -e^s \cdot \frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2} = -\frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^2} $$

以上より、$\vec{\alpha} = \left( -\frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^2}, \frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2} \right)$ を得る。

解説

曲線をパラメータで表したときの速度・加速度に関する微積分の標準的な問題である。 (1) で「$t$ による微分」を計算する際、関数の変数が $x$ であることに注意し、合成関数の微分法（$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$）を正確に用いることが鍵となる。 (2) の加速度の計算においては、解法1のように $\frac{dx}{dt}$ を $x$ の関数として表し、再度連鎖律を用いて微分する方法と、解法2のように恒等式の両辺をそのまま $t$ で微分して連立方程式を立てる方法がある。どちらも頻出の処理であるため、両方習熟しておきたい。 (3) は適切に置き換えを行うことで、数IIIの微分法に帰着する。計算量を減らすために $|\vec{\alpha}|^2$ の最大値を考えるのが定石である。