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九州大学 2010年理系第3問解説

方針・初手

曲線 $y = \frac{1}{x^2}$ 上の点における接線の方程式を立て、それが指定された点を通るという条件から接点の座標を決定する。点列 $P_n$, $Q_n$ の $x$ 座標の間に成り立つ漸化式を導き、それらの座標を一般項として表すことで、三角形の面積 $S_n$ とその無限級数の和を計算する。

解法1

$y = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ について、導関数は $y' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$ である。

(1)

点 $Q_1$ は $C_2$ （$x < 0$ の部分）上の点なので、その座標を $Q_1\left(q_1, \frac{1}{q_1^2}\right)$ （$q_1 < 0$）とおく。点 $Q_1$ における接線の方程式は、

$$ y - \frac{1}{q_1^2} = -\frac{2}{q_1^3}(x - q_1) $$

すなわち、

$$ y = -\frac{2}{q_1^3}x + \frac{3}{q_1^2} $$

となる。この接線は $C_1$ 上の点 $P_1\left(a, \frac{1}{a^2}\right)$ （$a > 0$）を通るため、

$$ \frac{1}{a^2} = -\frac{2}{q_1^3}a + \frac{3}{q_1^2} $$

両辺に $a^2 q_1^3$ を掛けて整理すると、

$$ q_1^3 - 3a^2 q_1 + 2a^3 = 0 $$

左辺を因数分解して、

$$ (q_1 - a)^2(q_1 + 2a) = 0 $$

$a > 0$ かつ $q_1 < 0$ であるから、$q_1 = -2a$ となる。したがって、点 $Q_1$ の座標は $\left(-2a, \frac{1}{4a^2}\right)$ である。

(2)

次に、点 $P_2$ の座標を求める。$P_2$ は $C_1$ （$x > 0$）上の点なので、その座標を $P_2\left(p_2, \frac{1}{p_2^2}\right)$ （$p_2 > 0$）とおく。点 $P_2$ における接線が点 $Q_1$ を通るため、(1)と同様の手順により、

$$ \frac{1}{q_1^2} = -\frac{2}{p_2^3}q_1 + \frac{3}{p_2^2} $$

$$ p_2^3 - 3q_1^2 p_2 + 2q_1^3 = 0 $$

$$ (p_2 - q_1)^2(p_2 + 2q_1) = 0 $$

$q_1 < 0$ かつ $p_2 > 0$ であるから、$p_2 = -2q_1$ となる。 $q_1 = -2a$ を代入すると、$p_2 = 4a$ である。ゆえに、点 $P_2$ の座標は $\left(4a, \frac{1}{16a^2}\right)$ である。

三角形 $P_1 Q_1 P_2$ の面積 $S_1$ を求める。 3点 $P_1\left(a, \frac{1}{a^2}\right)$、$Q_1\left(-2a, \frac{1}{4a^2}\right)$、$P_2\left(4a, \frac{1}{16a^2}\right)$ について、ベクトル $\overrightarrow{P_1 Q_1}$ と $\overrightarrow{P_1 P_2}$ を考える。

$$ \overrightarrow{P_1 Q_1} = \left( -3a, \frac{1}{4a^2} - \frac{1}{a^2} \right) = \left( -3a, -\frac{3}{4a^2} \right) $$

$$ \overrightarrow{P_1 P_2} = \left( 3a, \frac{1}{16a^2} - \frac{1}{a^2} \right) = \left( 3a, -\frac{15}{16a^2} \right) $$

したがって、面積 $S_1$ は

$$ S_1 = \frac{1}{2} \left| (-3a) \cdot \left(-\frac{15}{16a^2}\right) - \left(-\frac{3}{4a^2}\right) \cdot (3a) \right| $$

$$ S_1 = \frac{1}{2} \left| \frac{45}{16a} + \frac{9}{4a} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{45 + 36}{16a} \right| = \frac{81}{32a} $$

（$a > 0$ より絶対値記号はそのまま外れる）

(3)

点列 $P_n$, $Q_n$ の $x$ 座標をそれぞれ $p_n$, $q_n$ とおく。（$p_n > 0$, $q_n < 0$） (1), (2)の議論は任意の $n$ について成り立つため、以下の漸化式が得られる。

$$ q_n = -2p_n $$

$$ p_{n+1} = -2q_n $$

これより、$p_{n+1} = 4p_n$ となる。数列 $\{p_n\}$ は初項 $p_1 = a$、公比 $4$ の等比数列であるから、

$$ p_n = a \cdot 4^{n-1} $$

である。

三角形 $P_n Q_n P_{n+1}$ の頂点は $P_n\left(p_n, \frac{1}{p_n^2}\right)$、$Q_n\left(-2p_n, \frac{1}{4p_n^2}\right)$、$P_{n+1}\left(4p_n, \frac{1}{16p_n^2}\right)$ であるから、その面積 $S_n$ は、(2)の計算における $a$ を $p_n$ に置き換えたものに等しい。よって、

$$ S_n = \frac{81}{32p_n} = \frac{81}{32 a \cdot 4^{n-1}} $$

となる。

(4)

(3)より、数列 $\{S_n\}$ は初項 $S_1 = \frac{81}{32a}$、公比 $\frac{1}{4}$ の等比数列である。公比の絶対値が $1$ より小さいため、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ は収束し、その和は

$$ \sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{\frac{81}{32a}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{81}{32a} \cdot \frac{4}{3} = \frac{27}{8a} $$

となる。