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名古屋大学 1967年文系第7問解説

方針・初手

斜軸回転体の体積を求める問題である。まずは放物線と直線の交点を求め、積分区間を決定する。回転軸が $x$ 軸や $y$ 軸ではないため、直線 $y = x$ に沿った座標を導入し、それに垂直な平面による断面積を積分する方針（解法1）が基本となる。また、いわゆる傘型分割の考え方に基づいた斜軸回転体の体積公式を用いる方針（解法2）も有効である。

解法1

放物線 $y = \frac{x^2}{\sqrt{2}} - x$ と直線 $y = x$ の交点の $x$ 座標は、

$$ \frac{x^2}{\sqrt{2}} - x = x $$

$$ \frac{x^2}{\sqrt{2}} - 2x = 0 $$

$$ x \left( \frac{x}{\sqrt{2}} - 2 \right) = 0 $$

より、$x = 0, 2\sqrt{2}$ である。区間 $0 \leqq x \leqq 2\sqrt{2}$ において、放物線上の点 $\text{P}\left(x, \frac{x^2}{\sqrt{2}} - x\right)$ から直線 $y = x$ に下ろした垂線の足を $\text{H}$ とする。直線 $y = x$ に平行な単位ベクトル $\vec{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ と、それに垂直な単位ベクトル $\vec{v} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ をとる。

原点 $\text{O}$ から $\text{H}$ までの有向距離を $t$、線分 $\text{PH}$ の長さを $h$ とすると、内積を用いて次のように表せる。

$$ \begin{aligned} t &= \vec{OP} \cdot \vec{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{x^2}{\sqrt{2}} - x \right) = \frac{x^2}{2} \\ h &= |\vec{OP} \cdot \vec{v}| = \left| -\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{x^2}{\sqrt{2}} - x \right) \right| = \left| \frac{x^2}{2} - \sqrt{2}x \right| \end{aligned} $$

$0 \leqq x \leqq 2\sqrt{2}$ において $\frac{x^2}{2} - \sqrt{2}x \leqq 0$ であるため、

$$ h = \sqrt{2}x - \frac{x^2}{2} $$

となる。 $x$ が $0$ から $2\sqrt{2}$ まで変化するとき、$t$ は単調に増加し、$dt = x \, dx$ である。求める立体の体積 $V$ は、半径 $h$ の円を $t$ について積分すればよいので、

$$ \begin{aligned} V &= \int_{0}^{4} \pi h^2 \, dt \\ &= \pi \int_{0}^{2\sqrt{2}} \left( \sqrt{2}x - \frac{x^2}{2} \right)^2 \cdot x \, dx \\ &= \pi \int_{0}^{2\sqrt{2}} \left( 2x^2 - \sqrt{2}x^3 + \frac{x^4}{4} \right) x \, dx \\ &= \pi \int_{0}^{2\sqrt{2}} \left( 2x^3 - \sqrt{2}x^4 + \frac{x^5}{4} \right) dx \\ &= \pi \left[ \frac{1}{2}x^4 - \frac{\sqrt{2}}{5}x^5 + \frac{1}{24}x^6 \right]_{0}^{2\sqrt{2}} \end{aligned} $$

ここで、$x = 2\sqrt{2}$ を代入すると $x^2 = 8, \ x^4 = 64, \ x^5 = 128\sqrt{2}, \ x^6 = 512$ となるから、

$$ \begin{aligned} V &= \pi \left( \frac{1}{2} \cdot 64 - \frac{\sqrt{2}}{5} \cdot 128\sqrt{2} + \frac{1}{24} \cdot 512 \right) \\ &= \pi \left( 32 - \frac{256}{5} + \frac{64}{3} \right) \\ &= \pi \left( \frac{480 - 768 + 320}{15} \right) \\ &= \frac{32}{15}\pi \end{aligned} $$

解法2

傘型分割による斜軸回転体の体積公式を用いる。曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$（傾き $\tan \theta$）で囲まれた部分を直線の周りに回転させた体積 $V$ は、$V = \pi \cos\theta \int (f(x) - g(x))^2 \, dx$ で求められる。直線 $y = x$ は $x$ 軸正の向きと $\theta = \frac{\pi}{4}$ の角をなすため、$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \cos \frac{\pi}{4} \int_{0}^{2\sqrt{2}} \left( x - \left( \frac{x^2}{\sqrt{2}} - x \right) \right)^2 dx \\ &= \frac{\pi}{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\sqrt{2}} \left( 2x - \frac{x^2}{\sqrt{2}} \right)^2 dx \\ &= \frac{\pi}{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\sqrt{2}} \left( 4x^2 - 2\sqrt{2}x^3 + \frac{x^4}{2} \right) dx \\ &= \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left[ \frac{4}{3}x^3 - \frac{\sqrt{2}}{2}x^4 + \frac{1}{10}x^5 \right]_{0}^{2\sqrt{2}} \end{aligned} $$

$x = 2\sqrt{2}$ のとき $x^3 = 16\sqrt{2}, \ x^4 = 64, \ x^5 = 128\sqrt{2}$ であるから、

$$ \begin{aligned} V &= \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left( \frac{4}{3} \cdot 16\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 64 + \frac{1}{10} \cdot 128\sqrt{2} \right) \\ &= \pi \left( \frac{64}{3} - 32 + \frac{64}{5} \right) \\ &= \pi \left( \frac{320 - 480 + 192}{15} \right) \\ &= \frac{32}{15}\pi \end{aligned} $$

解説

斜軸回転体の体積は、難関大学で頻出のテーマである。解法1のように、回転軸に沿う方向とそれに直交する方向のベクトルをとり、内積を用いて媒介変数を設定する手法は、あらゆる斜軸回転体に適用できる最も汎用性が高い王道のアプローチである。この変数変換によって $dt$ を $dx$ に直す処理がポイントとなる。一方、解法2の「傘型積分の公式」は計算量が少なく強力だが、解答用紙にそのまま公式として記述すると証明不足とみなされるリスクもあるため、公式の導出過程を簡単に添えるか、解法1のような丁寧な立式を行うことが安全である。