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名古屋大学 2022年文系第3問解説

方針・初手

2つの放物線が異なる2点で交わる条件は、連立して得られる2次方程式が異なる2つの実数解をもつことと同値である。まずはその2次方程式を作成し、判別式を考える。

面積 $S$ については、交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおき、定積分を用いて表す。被積分関数が2次関数であることから、「$\frac{1}{6}$ 公式」を活用して $\alpha$ と $\beta$ の差の3乗の形で表し、解と係数の関係を用いて $a, b$ の式で表すという定石に従う。

解法1

(1)

$C_1: y = \frac{1}{2}x^2$ と $C_2: y = -(x-a)^2 + b$ が異なる2点で交わる条件は、方程式 $\frac{1}{2}x^2 = -(x-a)^2 + b$ が異なる2つの実数解をもつことである。

この方程式を整理する。

$$ \frac{1}{2}x^2 = -x^2 + 2ax - a^2 + b $$

$$ \frac{3}{2}x^2 - 2ax + a^2 - b = 0 $$

$$ 3x^2 - 4ax + 2a^2 - 2b = 0 $$

この $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ であればよい。

$$ \frac{D}{4} = (-2a)^2 - 3(2a^2 - 2b) = 4a^2 - 6a^2 + 6b = -2a^2 + 6b $$

$-2a^2 + 6b > 0$ より、求める条件は以下のようになる。

$$ b > \frac{1}{3}a^2 $$

(2)

(1)で求めた2次方程式 $3x^2 - 4ax + 2a^2 - 2b = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおく。

解と係数の関係より、以下の2式が成り立つ。

$$ \alpha + \beta = \frac{4}{3}a $$

$$ \alpha\beta = \frac{2a^2 - 2b}{3} $$

これを用いて、$(\beta - \alpha)^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= \left(\frac{4}{3}a\right)^2 - 4 \left(\frac{2a^2 - 2b}{3}\right) \\ &= \frac{16}{9}a^2 - \frac{24a^2 - 24b}{9} \\ &= \frac{8(3b - a^2)}{9} \end{aligned} $$

$\beta > \alpha$ より $\beta - \alpha > 0$ であるから、次のように表せる。

$$ \beta - \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} \sqrt{3b - a^2} $$

ここで、$C_1$ と $C_2$ で囲まれた図形の面積 $S$ は、区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において $C_2$ が $C_1$ の上側にあることから、次のように定積分で求められる。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ -(x-a)^2 + b - \frac{1}{2}x^2 \right\} dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \left( -\frac{3}{2}x^2 + 2ax - a^2 + b \right) dx \\ &= -\frac{3}{2} \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx \\ &= -\frac{3}{2} \left\{ -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 \right\} \\ &= \frac{1}{4} (\beta - \alpha)^3 \end{aligned} $$

これに $\beta - \alpha$ の式を代入する。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{4} \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \sqrt{3b - a^2} \right)^3 \\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{16\sqrt{2}}{27} (3b - a^2)^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{4\sqrt{2}}{27} (3b - a^2)^{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$

$S = 16$ であるから、次の方程式が成り立つ。

$$ \frac{4\sqrt{2}}{27} (3b - a^2)^{\frac{3}{2}} = 16 $$

$$ (3b - a^2)^{\frac{3}{2}} = 16 \cdot \frac{27}{4\sqrt{2}} = 54\sqrt{2} $$

ここで、$54\sqrt{2} = 18\sqrt{18} = (18)^{\frac{3}{2}}$ であることに着目すると、以下のようになる。

$$ 3b - a^2 = 18 $$

整理して、求める条件は以下の通りである。

$$ b = \frac{1}{3}a^2 + 6 $$

（このとき $b > \frac{1}{3}a^2$ を満たしている。）

(3)

(2)で求めたように、面積 $S$ は次のように表される。

$$ S = \frac{4\sqrt{2}}{27} (3b - a^2)^{\frac{3}{2}} $$

$S$ が最大になるのは、$3b - a^2$ が最大となるときである。

条件 $b \leqq a+3$ の両辺を3倍すると $3b \leqq 3a+9$ となる。これを用いると、$3b - a^2$ の取りうる値の範囲は次のように評価できる。

$$ \begin{aligned} 3b - a^2 &\leqq 3a + 9 - a^2 \\ &= -a^2 + 3a + 9 \\ &= -\left(a - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} + 9 \\ &= -\left(a - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{45}{4} \end{aligned} $$

したがって、$3b - a^2$ は $a = \frac{3}{2}$ かつ $3b = 3a + 9$、すなわち $b = a+3 = \frac{9}{2}$ のとき、最大値 $\frac{45}{4}$ をとる。

この $a = \frac{3}{2}, b = \frac{9}{2}$ は、(1)の条件 $b > \frac{1}{3}a^2$ を満たしている（$\frac{9}{2} > \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$）。

ゆえに、$S$ の最大値は以下のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{4\sqrt{2}}{27} \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{4\sqrt{2}}{27} \cdot \frac{45\sqrt{45}}{4\sqrt{4}} \\ &= \frac{4\sqrt{2}}{27} \cdot \frac{45 \cdot 3\sqrt{5}}{8} \\ &= \frac{4\sqrt{2}}{27} \cdot \frac{135\sqrt{5}}{8} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{5\sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{5\sqrt{10}}{2} \end{aligned} $$