名古屋大学 1968年 文系 第5問 解説

方針・初手

定積分 $\int_0^x f(t) dt$ の評価を行うために、被積分関数 $f(t)$ を上から評価する。条件より $f(x)$ は単調非減少（単調に増加するか一定）であるため、積分区間 $0 \leqq t \leqq x$ において $f(t) \leqq f(x)$ が成り立つことを利用する。さらに、$x$ の定義域が $0 \leqq x < 1$ であることと、$f(0)=0$ から導かれる $f(x) \geqq 0$ を組み合わせて、目標の不等式を導出する。

解法1

$0 \leqq x < 1$ とする。

条件より $f(0) = 0$ であり、$x_1 < x_2$ ならば $f(x_1) \leqq f(x_2)$ である。したがって、$0 \leqq x$ において以下が成り立つ。

$$ f(x) \geqq f(0) = 0 $$

次に、$0 \leqq x$ のときの定積分 $\int_0^x f(t) dt$ について考える。 積分変数 $t$ は $0 \leqq t \leqq x$ の範囲を動く。このとき、関数の単調性から以下の不等式が成り立つ。

$$ f(t) \leqq f(x) $$

この不等式の両辺を $t$ について $0$ から $x$ まで積分すると、積分区間が $0 \leqq x$ であるため大小関係は保存され、次のようになる。

$$ \int_0^x f(t) dt \leqq \int_0^x f(x) dt $$

右辺の被積分関数である $f(x)$ は積分変数 $t$ に無関係な定数とみなせるため、次のように計算できる。

$$ \int_0^x f(x) dt = f(x) \int_0^x 1 dt = f(x) \bigl[ t \bigr]_0^x = x f(x) $$

したがって、ここまでの結果をまとめると以下の不等式が得られる。

$$ \int_0^x f(t) dt \leqq x f(x) $$

ここで、問題の条件より $0 \leqq x < 1$ であり、先ほど示したように $f(x) \geqq 0$ である。 したがって、$x \leqq 1$ の両辺に $0$ 以上の値である $f(x)$ を掛けることで、以下の不等式が成り立つ。

$$ x f(x) \leqq 1 \cdot f(x) = f(x) $$

よって、導出された2つの不等式を繋げることで、目的の不等式を得る。

$$ \int_0^x f(t) dt \leqq x f(x) \leqq f(x) $$

以上より、つねに $f(x) \geqq \int_0^x f(t) dt$ が成り立つことが証明された。

解説

積分の不等式証明の基本である「被積分関数の評価」を行う問題。被積分関数 $f(t)$ が積分区間の右端 $x$ で最大値 $f(x)$ をとること（単調性）を用いて、定積分を長方形の面積 $x f(x)$ で上から抑える発想が重要である。

また、得られた $x f(x)$ を $f(x)$ 以下であると結論づける際に、定義域 $x < 1$ を用いるだけでなく、「掛ける数 $f(x)$ が $0$ 以上であること」の確認が必須となる。$f(0)=0$ から $f(x) \geqq 0$ を導く過程を省略すると論理の飛躍となるため、論証の抜けがないように記述に注意したい。

答え

$f(x)$ の単調性と積分区間における $f(t) \leqq f(x)$ を用いて $\int_0^x f(t) dt \leqq x f(x)$ を導き、さらに $0 \leqq x < 1$ と $f(x) \geqq 0$ から $x f(x) \leqq f(x)$ を導くことで示された。