トップ› 名古屋大学› 1971年› 文系第5問

名古屋大学 1971年文系第5問解説

方針・初手

導関数 $f'(x)$ の条件が $x=1$ を境に分かれているため、それぞれの範囲で積分して関数 $f(x)$ を求めます。このとき、区間ごとに積分定数が生じます。条件 $f(0)=0$ から一方の積分定数を定め、関数 $f(x)$ が「すべての $x$ に対して微分可能」であることから、$x=1$ における「連続性」と「微分可能性（左右の微分係数が一致する）」を用いて、もう一方の積分定数と定数 $a$ の値を決定します。

解法1

条件(A)より、$x \leqq 1$ のとき、積分定数を $C_1$ として、

$$ f(x) = \int a^2 x dx = \frac{1}{2}a^2 x^2 + C_1 $$

と表せる。条件(B) $f(0) = 0$ は $x \leqq 1$ の範囲の条件であり、代入すると、

$$ f(0) = C_1 = 0 $$

よって、$x \leqq 1$ において、

$$ f(x) = \frac{1}{2}a^2 x^2 \quad \cdots \text{①} $$

また、$x \geqq 1$ のとき、積分定数を $C_2$ として、

$$ f(x) = \int (-2ax + 8) dx = -ax^2 + 8x + C_2 \quad \cdots \text{②} $$

と表せる。

$f(x)$ はすべての $x$ に対して微分可能であるから、$x = 1$ においても微分可能である。 $x=1$ で微分可能であるためには、左右の微分係数が一致しなければならない。すなわち、

$$ \lim_{x \to 1-0} f'(x) = \lim_{x \to 1+0} f'(x) $$

が成り立つ必要がある。与えられた導関数について $x \to 1$ の極限を考えると、

$$ \lim_{x \to 1-0} f'(x) = a^2 \cdot 1 = a^2 $$

$$ \lim_{x \to 1+0} f'(x) = -2a \cdot 1 + 8 = -2a + 8 $$

これらが等しいので、

$$ a^2 = -2a + 8 $$

$$ a^2 + 2a - 8 = 0 $$

$$ (a+4)(a-2) = 0 $$

$a$ は正の定数であるから、

$$ a = 2 $$

このとき、①より $x \leqq 1$ において、

$$ f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot x^2 = 2x^2 $$

また、②より $x \geqq 1$ において、

$$ f(x) = -2x^2 + 8x + C_2 $$

さらに、$f(x)$ が $x=1$ で微分可能であるためには、$x=1$ で連続でなければならない。すなわち、

$$ \lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} f(x) = f(1) $$

が成り立つ。

$$ \lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1-0} 2x^2 = 2 $$

$$ \lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} (-2x^2 + 8x + C_2) = 6 + C_2 $$

これらが等しいので、

$$ 2 = 6 + C_2 $$

$$ C_2 = -4 $$

ゆえに、$x \geqq 1$ における $f(x)$ は、

$$ f(x) = -2x^2 + 8x - 4 = -2(x-2)^2 + 4 $$

となる。以上より、関数 $f(x)$ は次のように定まる。

$$ f(x) = \begin{cases} 2x^2 & (x \leqq 1) \\ -2x^2 + 8x - 4 & (x \geqq 1) \end{cases} $$

次に、$y = f(x)$ のグラフを考える。 $x \leqq 1$ の範囲では、頂点が $(0,0)$ で下に凸の放物線 $y = 2x^2$ である。 $x \geqq 1$ の範囲では、頂点が $(2,4)$ で上に凸の放物線 $y = -2(x-2)^2 + 4$ である。これらは点 $(1,2)$ で滑らかに接続される。また、$x \geqq 1$ において $y=0$ となる $x$ は、$-2x^2 + 8x - 4 = 0$ より $x^2 - 4x + 2 = 0$ を解いて $x = 2 \pm \sqrt{2}$ であるが、$x \geqq 1$ を満たすのは $x = 2 + \sqrt{2}$ である。

解説

導関数が区間ごとに定義されている関数を扱う典型的な問題です。「微分可能」という条件には「連続である（関数の値が一致する）」ことと、「なめらかにつながる（微分係数が一致する）」ことの2つの条件が含まれています。多くの学習者は、導関数が一致する条件（$a$ の決定）にはすぐに気が付きますが、元の関数が連続になるように積分定数を合わせる条件（$C_2$ の決定）を忘れがちです。積分を実行した際に生じる定数を適切に処理する手順を忘れないようにしましょう。