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名古屋大学 1971年文系第4問解説

方針・初手

$x, y$ の和が一定であるという条件から、$x + y = k$ （$k$ は正の定数）とおき、$y$ を消去して1変数関数の最小値問題に帰着させる。その後は微分を用いて導関数の符号変化を調べ、最小値をとる $x$ の値を求めるのが基本方針である。

解法1

$x, y$ の和が一定であるから、その和を $k$ とおく。ここで、$x > 0, y > 0$ より $k$ は正の定数である。

$$ x + y = k $$

これより $y = k - x$ であり、$y > 0$ の条件から、$x$ のとり得る値の範囲は $0 < x < k$ となる。

$ax^3 + by^3$ を $x$ の関数とみて $f(x)$ とおくと、

$$ f(x) = ax^3 + b(k - x)^3 $$

となる。これを $x$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 3ax^2 + 3b(k - x)^2 \cdot (-1) \\ &= 3 \{ ax^2 - b(k - x)^2 \} \end{aligned} $$

極値を求めるために $f'(x) = 0$ とすると、

$$ ax^2 = b(k - x)^2 $$

$a > 0, b > 0, x > 0, k - x > 0$ であるから、両辺の正の平方根をとって、

$$ \sqrt{a}x = \sqrt{b}(k - x) $$

これを $x$ について解くと、

$$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})x = \sqrt{b}k $$

$$ x = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}k $$

この $x$ の値は $0 < x < k$ を満たしている。

次に、この $x$ の前後における $f'(x)$ の符号変化を調べる。

($0 < x < \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}k$ のとき) $\sqrt{a}x < \sqrt{b}(k - x)$ となるため、両辺を2乗して $ax^2 < b(k - x)^2$ となり、$f'(x) < 0$ である。

($\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}k < x < k$ のとき) 同様に $\sqrt{a}x > \sqrt{b}(k - x)$ となるため、$ax^2 > b(k - x)^2$ となり、$f'(x) > 0$ である。

したがって、関数 $f(x)$ は $x = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}k$ のとき最小値をとる。このときの $y$ の値は、

$$ \begin{aligned} y &= k - x \\ &= k - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}k \\ &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}k \end{aligned} $$

よって、$ax^3 + by^3$ が最小となるときの $x$ と $y$ の値の比は、

$$ \begin{aligned} x : y &= \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}k : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}k \\ &= \sqrt{b} : \sqrt{a} \end{aligned} $$

解説

「和が一定」という条件式を用いて変数を減らし、1変数の微分の問題に持ち込む定石通りの解法である。変数を消去した際に、残した変数の定義域（ここでは $0 < x < k$）を正確に把握することが重要である。

なお、大学数学で学ぶ「ラグランジュの未定乗数法」を知っていれば、答えの見当を即座につけることができる。制約条件 $g(x, y) = x + y - k = 0$ のもとで $f(x, y) = ax^3 + by^3$ を最小化するとき、$\frac{\partial f}{\partial x} = \lambda \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} = \lambda \frac{\partial g}{\partial y}$ より $3ax^2 = 3by^2$ が成り立つため、$x > 0, y > 0$ から $\sqrt{a}x = \sqrt{b}y$ すなわち $x : y = \sqrt{b} : \sqrt{a}$ を導くことができる。見直しや方針立ての際に有効である。