東北大学 1980年 理系 第2問 解説

方針・初手

被積分関数を

$$ g(t)=|(t+1)(t+2)| $$

とおくと，

$$ f(x)=\int_x^{x+1} g(t),dt $$

である。ここで上端と下端がともに $x$ に依存するので，微分して

$$ f'(x)=g(x+1)-g(x) $$

を調べるのが最も自然である。 まず $g(t)$ を絶対値の中身の符号で場合分けする。

解法1

$(t+1)(t+2)=0$ となるのは $t=-2,-1$ であるから，

$$ g(t)=|(t+1)(t+2)| ================= \begin{cases} t^2+3t+2 & (t\le -2,\ t\ge -1),\ -(t^2+3t+2) & (-2\le t\le -1). \end{cases} $$

したがって，

$$ f'(x)=g(x+1)-g(x) $$

を $x$ の範囲ごとに調べる。

(i) $-4\le x\le -3$ のとき

このとき $x,\ x+1\le -2$ であるから，

$$ g(x)=x^2+3x+2,\qquad g(x+1)=(x+1)^2+3(x+1)+2=x^2+5x+6 $$

より，

$$ f'(x)=g(x+1)-g(x)=2x+4=2(x+2). $$

ここでは $x\le -3$ なので $f'(x)<0$ である。

(ii) $-3\le x\le -2$ のとき

このとき $x\le -2,\ -2\le x+1\le -1$ であるから，

$$ g(x)=x^2+3x+2,\qquad g(x+1)=-{(x+1)^2+3(x+1)+2} $$

であり，

$$ f'(x)=-(x^2+5x+6)-(x^2+3x+2) =-2x^2-8x-8 =-2(x+2)^2\le 0. $$

(iii) $-2\le x\le -1$ のとき

このとき $-2\le x\le -1,\ -1\le x+1\le 0$ であるから，

$$ g(x)=-(x^2+3x+2),\qquad g(x+1)=x^2+5x+6 $$

より，

$$ f'(x)=x^2+5x+6+x^2+3x+2 =2x^2+8x+8 =2(x+2)^2\ge 0. $$

(iv) $-1\le x\le 1$ のとき

このとき $x,\ x+1\ge -1$ であるから，

$$ f'(x)={(x+1)^2+3(x+1)+2}-(x^2+3x+2)=2x+4>0. $$

以上より，$f(x)$ は $x=-2$ まで減少し，$x=-2$ から増加する。 したがって最小値は $x=-2$ でとる。

次に最大値は区間の端で比較すればよい。

まず，

$$ f(-2)=\int_{-2}^{-1} |(t+1)(t+2)|,dt =\int_{-2}^{-1} -(t+1)(t+2),dt. $$

計算すると，

$$ f(-2)=\int_{-2}^{-1} (-t^2-3t-2),dt=\frac16. $$

また，

$$ f(-4)=\int_{-4}^{-3} (t+1)(t+2),dt =\left[\frac{t^3}{3}+\frac{3}{2}t^2+2t\right]_{-4}^{-3} =\frac{23}{6}, $$

$$ f(1)=\int_1^2 (t+1)(t+2),dt =\left[\frac{t^3}{3}+\frac{3}{2}t^2+2t\right]_1^2 =\frac{53}{6}. $$

よって，

$$ f(1)>f(-4) $$

であるから最大値は $x=1$ でとる。

解説

長さ $1$ の区間 $[x,x+1]$ 上で絶対値付き二次関数を積分している問題である。 直接積分して場合分けしてもよいが，この種の問題は

$$ f(x)=\int_x^{x+1} g(t),dt \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=g(x+1)-g(x) $$

を用いると整理しやすい。 絶対値の符号が変わる点 $t=-2,-1$ に対応して，$x$ の範囲を区切るのが要点である。

答え

最小値は

$$ \frac16 $$

であり，$x=-2$ のときにとる。

最大値は

$$ \frac{53}{6} $$

であり，$x=1$ のときにとる。