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名古屋大学 1974年文系第6問解説

方針・初手

まずは与えられた条件式 $\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin x dx = 0$ を計算し、$a, b$ についての条件を求める。積分区間が $-\pi$ から $\pi$ と原点対称であるため、被積分関数の偶関数・奇関数の性質を利用することで計算量を減らすことができる。その後、求められた条件を $\int_{-\pi}^{\pi} \{f(x)\}^2 dx$ に代入して $a$ のみの関数とし、相加平均と相乗平均の大小関係、または微分を用いて最小値を求める。

解法1

$f(x) = ax^2 + bx + \frac{1}{a}$ を条件の積分式に代入する。

$$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin x dx = \int_{-\pi}^{\pi} \left( ax^2 \sin x + bx \sin x + \frac{1}{a} \sin x \right) dx $$

ここで、$ax^2 \sin x$ および $\frac{1}{a} \sin x$ は奇関数であり、$bx \sin x$ は偶関数である。積分区間が $[-\pi, \pi]$ であるから、奇関数の定積分は $0$ となる。

$$ \int_{-\pi}^{\pi} \left( ax^2 \sin x + \frac{1}{a} \sin x \right) dx = 0 $$

したがって、残る偶関数の積分を計算する。

$$ \int_{-\pi}^{\pi} bx \sin x dx = 2b \int_{0}^{\pi} x \sin x dx $$

部分積分法を用いてこの定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\pi} x \sin x dx &= \Big[ -x \cos x \Big]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} 1 \cdot (-\cos x) dx \\ &= \pi + \Big[ \sin x \Big]_{0}^{\pi} \\ &= \pi \end{aligned} $$

ゆえに、

$$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin x dx = 2b\pi $$

与えられた条件よりこれが $0$ となるため、$2b\pi = 0$ すなわち $b = 0$ である。また、問題文の条件より $a > 0$ である。したがって、$a, b$ の満たすべき条件は $a > 0$ かつ $b = 0$ である。

次に、この条件のもとで積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \{f(x)\}^2 dx$ の最小値を求める。 $b = 0$ のとき、$f(x) = ax^2 + \frac{1}{a}$ である。

$$ \begin{aligned} \{f(x)\}^2 &= \left( ax^2 + \frac{1}{a} \right)^2 \\ &= a^2 x^4 + 2x^2 + \frac{1}{a^2} \end{aligned} $$

被積分関数の各項はすべて偶関数であるから、求める積分を $I$ とおくと、

$$ \begin{aligned} I &= 2 \int_{0}^{\pi} \left( a^2 x^4 + 2x^2 + \frac{1}{a^2} \right) dx \\ &= 2 \left[ \frac{a^2}{5} x^5 + \frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{a^2} x \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{2\pi^5}{5} a^2 + \frac{4\pi^3}{3} + \frac{2\pi}{a^2} \end{aligned} $$

$a > 0$ より $\frac{2\pi^5}{5} a^2 > 0$ かつ $\frac{2\pi}{a^2} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ \begin{aligned} \frac{2\pi^5}{5} a^2 + \frac{2\pi}{a^2} &\geqq 2 \sqrt{\frac{2\pi^5}{5} a^2 \cdot \frac{2\pi}{a^2}} \\ &= 2 \sqrt{\frac{4\pi^6}{5}} \\ &= \frac{4\pi^3}{\sqrt{5}} \end{aligned} $$

等号が成立するのは $\frac{2\pi^5}{5} a^2 = \frac{2\pi}{a^2}$ のときである。これを解くと $a^4 = \frac{5}{\pi^4}$ となり、$a > 0$ より $a = \frac{\sqrt[4]{5}}{\pi}$ のときに等号が成立する。

したがって、$I$ の最小値は、

$$ \frac{4\pi^3}{\sqrt{5}} + \frac{4\pi^3}{3} = \frac{4\pi^3(3+\sqrt{5})}{3\sqrt{5}} = \frac{4\pi^3(3\sqrt{5}+5)}{15} $$

解法2

定積分 $I = \frac{2\pi^5}{5} a^2 + \frac{4\pi^3}{3} + \frac{2\pi}{a^2}$ を求める過程までは解法1と同様である。

$I$ を $a$ の関数とみなし、$g(a)$ とおく。

$$ g(a) = \frac{2\pi^5}{5} a^2 + \frac{4\pi^3}{3} + \frac{2\pi}{a^2} \quad (a > 0) $$

$a$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} g'(a) &= \frac{4\pi^5}{5} a - \frac{4\pi}{a^3} \\ &= \frac{4\pi}{5a^3} \left( \pi^4 a^4 - 5 \right) \end{aligned} $$

$g'(a) = 0$ となるのは $\pi^4 a^4 - 5 = 0$ のときであり、$a > 0$ より $a = \frac{\sqrt[4]{5}}{\pi}$ である。 $a > 0$ における $g(a)$ の増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} a & (0) & \cdots & \frac{\sqrt[4]{5}}{\pi} & \cdots \\ \hline g'(a) & & - & 0 & + \\ \hline g(a) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow \\ \end{array} $$

増減表より、$g(a)$ は $a = \frac{\sqrt[4]{5}}{\pi}$ で最小となる。最小値は、

$$ \begin{aligned} g\left( \frac{\sqrt[4]{5}}{\pi} \right) &= \frac{2\pi^5}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\pi^2} + \frac{4\pi^3}{3} + 2\pi \cdot \frac{\pi^2}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{2\sqrt{5}\pi^3}{5} + \frac{4\pi^3}{3} + \frac{2\sqrt{5}\pi^3}{5} \\ &= \frac{4\sqrt{5}\pi^3}{5} + \frac{4\pi^3}{3} \\ &= \frac{12\sqrt{5}\pi^3 + 20\pi^3}{15} \\ &= \frac{4\pi^3(3\sqrt{5}+5)}{15} \end{aligned} $$

解説

積分区間が $[-\alpha, \alpha]$ の形をしている定積分では、被積分関数を偶関数と奇関数に分けて計算を簡略化する手法が非常に有効である。本問でも、これに気づくことで余計な計算を省き、すぐに $b$ の値を決定することができる。

また、$x > 0$ における $p x^2 + \frac{q}{x^2} \ (p, q > 0)$ のような、逆数関係に近い項の和の最小値を求める場面では、解法1で示した相加平均と相乗平均の大小関係を用いるのが典型かつ最短のアプローチである。解法2のように微分を用いても確実に解くことができるため、計算ミスの確認に用いるとよい。