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名古屋大学 1979年文系第3問解説

方針・初手

与えられた1次変換により原点は原点に移るため、正方形を構成する頂点のうち、原点に隣接する2点 $(1,0), (0,1)$ の像に注目します。1次変換の線形性から、これらの像のベクトルが直交し、かつ長さが等しく、ゼロベクトルでなければ、変換後の図形も正方形になります。

解法1

1次変換を表す行列を $A$ とする。

$$ A = \begin{pmatrix} \sin t + \cos kt & \sin t - \cos kt \\ \cos t + \sin kt & \cos t - \sin kt \end{pmatrix} $$

与えられた正方形の頂点を $O(0,0), P(1,0), Q(1,1), R(0,1)$ とし、この1次変換によるそれぞれの像を $O', P', Q', R'$ とする。原点は原点に移るため、$O'$ は $O(0,0)$ と一致する。

$P, R$ の位置ベクトルを $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ とおくと、それぞれの像の位置ベクトル $\vec{p}', \vec{r}'$ は以下のようになる。

$$ \vec{p}' = A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin t + \cos kt \\ \cos t + \sin kt \end{pmatrix} $$

$$ \vec{r}' = A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin t - \cos kt \\ \cos t - \sin kt \end{pmatrix} $$

正方形が正方形にうつるための必要十分条件は、$\vec{p}'$ と $\vec{r}'$ が直交し、かつ長さが等しく、$\vec{0}$ にならないことである。すなわち、$\vec{p}' \cdot \vec{r}' = 0$ かつ $|\vec{p}'|^2 = |\vec{r}'|^2 > 0$ である。

まず、内積 $\vec{p}' \cdot \vec{r}'$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \vec{p}' \cdot \vec{r}' &= (\sin t + \cos kt)(\sin t - \cos kt) + (\cos t + \sin kt)(\cos t - \sin kt) \\ &= (\sin^2 t - \cos^2 kt) + (\cos^2 t - \sin^2 kt) \\ &= (\sin^2 t + \cos^2 t) - (\cos^2 kt + \sin^2 kt) \\ &= 1 - 1 \\ &= 0 \end{aligned} $$

したがって、$\vec{p}' \cdot \vec{r}' = 0$ は任意の $t, k$ について常に成り立つ。

次に、長さの2乗 $|\vec{p}'|^2, |\vec{r}'|^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} |\vec{p}'|^2 &= (\sin t + \cos kt)^2 + (\cos t + \sin kt)^2 \\ &= (\sin^2 t + 2\sin t \cos kt + \cos^2 kt) + (\cos^2 t + 2\cos t \sin kt + \sin^2 kt) \\ &= (\sin^2 t + \cos^2 t) + (\cos^2 kt + \sin^2 kt) + 2(\sin t \cos kt + \cos t \sin kt) \\ &= 1 + 1 + 2\sin(t + kt) \\ &= 2 + 2\sin((k+1)t) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} |\vec{r}'|^2 &= (\sin t - \cos kt)^2 + (\cos t - \sin kt)^2 \\ &= (\sin^2 t - 2\sin t \cos kt + \cos^2 kt) + (\cos^2 t - 2\cos t \sin kt + \sin^2 kt) \\ &= 1 + 1 - 2(\sin t \cos kt + \cos t \sin kt) \\ &= 2 - 2\sin((k+1)t) \end{aligned} $$

正方形になるための条件 $|\vec{p}'|^2 = |\vec{r}'|^2$ より、以下の等式を得る。

$$ 2 + 2\sin((k+1)t) = 2 - 2\sin((k+1)t) $$

$$ 4\sin((k+1)t) = 0 $$

$$ \sin((k+1)t) = 0 $$

なお、このとき $|\vec{p}'|^2 = |\vec{r}'|^2 = 2 > 0$ となり、正方形が1点や線分に潰れることはない。

これより、$(k+1)t = n\pi$ （$n$ は整数）となる。ここで、$k+1 = 0$ となるかどうかで場合分けを行う。

(i) $k \neq -1$ のとき

$k+1 \neq 0$ であるから、両辺を割って次を得る。

$$ t = \frac{n\pi}{k+1} \quad (n\text{ は整数}) $$

(ii) $k = -1$ のとき

方程式は $0 \cdot t = 0$ となる。これは任意の $t$ について（$n=0$ のときとして）常に成立する。よって、$t$ はすべての実数となる。

解説

1次変換による図形の性質（正方形の維持）をベクトルで処理する典型問題です。基本ベクトル $\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の像を計算し、「直交する」「長さが等しい」という条件を内積とノルムの計算に帰着させます。三角関数の計算過程で加法定理 $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ が現れることに気づけるかがポイントです。最後に $(k+1)t = n\pi$ を $t$ について解く際、定数 $k$ の値によって $k+1 = 0$ になる可能性を考慮し、場合分けを行う必要があります。文字式で割るときの基本原則を忘れないようにしましょう。