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大阪大学 1989年文系第1問解説

方針・初手

1次変換 $f$ は原点を中心とする角 $\theta$ の回転であるため、行列表示して考えるのが確実である。

(1)

$f(\vec{b}) + \vec{a} = \vec{b}$ を $\vec{b}$ についての方程式とみなし、係数行列が正則（逆行列をもつ）であることを示す。

（2） (1) の結果（ $\vec{a} = \vec{b} - f(\vec{b})$ ）を代入して式を整理し、回転移動が線形変換であり、かつベクトルの大きさを変えない性質（等長変換）を持つことを利用する。

解法1

(1)

1次変換 $f$ を表す行列を $R$ とすると、$R$ は原点を中心とする角 $\theta$ の回転を表すので、

$$ R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

とかける。また、$E$ を2次の単位行列とする。

条件式 $f(\vec{b}) + \vec{a} = \vec{b}$ を行列を用いて表すと、

$$ R\vec{b} + \vec{a} = \vec{b} $$

となる。これを変形すると、

$$ (E - R)\vec{b} = \vec{a} $$

ここで、行列 $E - R$ は以下のようになる。

$$ E - R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & 1-\cos\theta \end{pmatrix} $$

この行列の行列式を $\Delta$ とすると、

$$ \Delta = (1-\cos\theta)^2 - (\sin\theta)(-\sin\theta) = 1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 - 2\cos\theta = 2(1 - \cos\theta) $$

問題の条件より $0 < \theta < \pi$ であるから、$-1 < \cos\theta < 1$ であり、$\cos\theta \neq 1$ である。

したがって $\Delta > 0$ となり、$\Delta \neq 0$ であるから、行列 $E - R$ は逆行列 $(E - R)^{-1}$ をもつ。

ゆえに、$\vec{b} = (E - R)^{-1}\vec{a}$ とすれば、条件を満たすベクトル $\vec{b}$ がただ1つ存在することが示された。

(2)

(1) より、$f(\vec{b}) + \vec{a} = \vec{b}$ であるから、

$$ \vec{a} = \vec{b} - f(\vec{b}) $$

が成り立つ。これを証明すべき式の左辺の $\vec{a}$ に代入すると、

$$ f(\vec{p}) + \vec{a} - \vec{b} = f(\vec{p}) + \{ \vec{b} - f(\vec{b}) \} - \vec{b} = f(\vec{p}) - f(\vec{b}) $$

となる。ここで、$f$ は1次変換（線形変換）であるため、

$$ f(\vec{p}) - f(\vec{b}) = f(\vec{p} - \vec{b}) $$

が成り立つ。

さらに、$f$ は原点を中心とする回転を表す変換であるから、任意のベクトル $\vec{v}$ に対して、変換前後でベクトルの大きさは変化せず、

$$ |f(\vec{v})| = |\vec{v}| $$

が成り立つ（等長変換の性質）。

したがって、$\vec{v} = \vec{p} - \vec{b}$ とおくことで、

$$ |f(\vec{p} - \vec{b})| = |\vec{p} - \vec{b}| $$

となる。

以上の式変形より、

$$ |f(\vec{p}) + \vec{a} - \vec{b}| = |f(\vec{p} - \vec{b})| = |\vec{p} - \vec{b}| $$

となり、すべてのベクトル $\vec{p}$ に対して与式が成り立つことが示された。

解説

回転や対称移動のような幾何学的な意味を持つ1次変換の性質を問う、標準的な問題である。

(1) は、ベクトルの方程式を「行列を用いた連立1次方程式」として捉え直し、逆行列の存在条件（行列式 $\neq 0$）を考えるのが典型的な処理である。角度 $\theta$ の範囲が与えられている理由が、行列式が $0$ にならないことを保証するためであると気づける。

(2) は、代入して式を整理するだけであるが、解答を記述するうえでは「1次変換の線形性（ $f(\vec{x}+\vec{y})=f(\vec{x})+f(\vec{y})$ や $f(k\vec{x})=kf(\vec{x})$ など）」と「回転移動の等長性（大きさを変えない性質）」の2点を明確に分けて論拠を述べる必要がある。ここを曖昧にすると、論理に飛躍があると見なされるおそれがある。