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大阪大学 1990年文系第4問解説

注意

画像の一部で、1次変換 $g$ の式の $y''$ の成分が $y'' = y - 2d(cs + dy)$ のように見えますが、文脈から1次変換を表す変数 $x$ の印字かすれ等と判断し、$y'' = y - 2d(cx + dy)$ として解答を作成する。

方針・初手

点 $P, Q$ は単位円周上の点であるから、$(\cos\alpha, \sin\alpha)$ などの三角関数を用いて $a, b, c, d$ を表す。 1次変換 $f, g$ をそれぞれ行列で表現し、それらの積を計算して合成変換 $g \circ f$ の表現行列を求めるのが基本方針である。また、変換式の形から、これらの変換がそれぞれある直線に関する対称移動を表していることを見抜く幾何学的なアプローチも非常に有効である。

解法1

点 $(1, 0)$ を原点のまわりに角 $\alpha$ だけ回転した点が $P(a, b)$ であるから、

$$ a = \cos\alpha, \quad b = \sin\alpha $$

と表せる。

1次変換 $f$ の関係式は、展開して整理すると

$$ x' = (1 - 2a^2)x - 2ab y $$

$$ y' = -2ab x + (1 - 2b^2)y $$

となる。

ここで、半角の公式および2倍角の公式より、

$$ 1 - 2a^2 = 1 - 2\cos^2\alpha = -\cos 2\alpha $$

$$ -2ab = -2\sin\alpha\cos\alpha = -\sin 2\alpha $$

$$ 1 - 2b^2 = 1 - 2\sin^2\alpha = \cos 2\alpha $$

であるから、$f$ を表す行列を $F$ とすると

$$ F = \begin{pmatrix} -\cos 2\alpha & -\sin 2\alpha \\ -\sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{pmatrix} $$

となる。

同様に、点 $(1, 0)$ を原点のまわりに角 $\beta$ だけ回転した点が $Q(c, d)$ であるから、

$$ c = \cos\beta, \quad d = \sin\beta $$

であり、1次変換 $g$ を表す行列を $G$ とすると

$$ G = \begin{pmatrix} -\cos 2\beta & -\sin 2\beta \\ -\sin 2\beta & \cos 2\beta \end{pmatrix} $$

となる。

合成変換 $g \circ f$ を表す行列は、積 $GF$ で与えられるので、

$$ GF = \begin{pmatrix} -\cos 2\beta & -\sin 2\beta \\ -\sin 2\beta & \cos 2\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\cos 2\alpha & -\sin 2\alpha \\ -\sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} \cos 2\beta \cos 2\alpha + \sin 2\beta \sin 2\alpha & \cos 2\beta \sin 2\alpha - \sin 2\beta \cos 2\alpha \\ \sin 2\beta \cos 2\alpha - \cos 2\beta \sin 2\alpha & \sin 2\beta \sin 2\alpha + \cos 2\beta \cos 2\alpha \end{pmatrix} $$

加法定理を用いると、

$$ = \begin{pmatrix} \cos(2\beta - 2\alpha) & -\sin(2\beta - 2\alpha) \\ \sin(2\beta - 2\alpha) & \cos(2\beta - 2\alpha) \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} \cos 2(\beta - \alpha) & -\sin 2(\beta - \alpha) \\ \sin 2(\beta - \alpha) & \cos 2(\beta - \alpha) \end{pmatrix} $$

これは、原点のまわりの角 $2(\beta - \alpha)$ の回転を表す行列である。

したがって、合成変換 $g \circ f$ は原点のまわりの角 $2(\beta - \alpha)$ の回転であることが示された。

解法2

位置ベクトルを $\vec{p} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \vec{q} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}, \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とおく。

題意より、$\vec{p}, \vec{q}$ はそれぞれ $x$ 軸の正の向きから角 $\alpha, \beta$ をなす単位ベクトルである。

1次変換 $f$ の式は、内積を用いて

$$ \vec{x}' = \vec{x} - 2(\vec{p} \cdot \vec{x})\vec{p} $$

と表すことができる。

これは、$\vec{x}$ から、$\vec{p}$ 方向の正射影ベクトルの2倍を引くことを意味する。すなわち、変換 $f$ は、原点を通り法線ベクトルが $\vec{p}$ である直線（これを $l_1$ とする）に関する対称移動を表す。

同様に、1次変換 $g$ の式は

$$ \vec{x}'' = \vec{x}' - 2(\vec{q} \cdot \vec{x}')\vec{q} $$

と表せ、これは原点を通り法線ベクトルが $\vec{q}$ である直線（これを $l_2$ とする）に関する対称移動を表す。

法線ベクトル $\vec{p}, \vec{q}$ のなす角は $\beta - \alpha$ であるから、これらに直交する直線 $l_1$ と $l_2$ のなす角も $\beta - \alpha$ である。

一般に、交わる2直線に関する対称移動の合成は、その交点を中心とし、2直線のなす角の2倍を回転角とする回転変換となる。直線 $l_1$ から $l_2$ へ測った角が $\beta - \alpha$ であるため、2つの対称移動の合成変換 $g \circ f$ は原点のまわりの角 $2(\beta - \alpha)$ の回転を表す。

解説

1次変換を行列で表現して積を計算する標準的な解法（解法1）で確実に解き切ることができる。倍角の公式や加法定理といった三角関数の公式を正確に使いこなす計算力が求められる。一方で、変換の式をベクトル表記で解釈し、それが「法線ベクトルを用いた直線に関する対称移動」を表すことに気づけると、幾何学的な性質（2つの対称移動の合成は回転になる）を利用して見通しよく証明することができる（解法2）。