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名古屋大学 1985年文系第1問解説

方針・初手

点 $P$ の座標を変数で設定し、線分 $PA$ の長さの2乗をその変数の関数として表す。定義域を確認したうえで、微積分を用いて関数の増減を調べ、最大値を特定する。計算途中で無理数の解をもつ高次方程式の値を求める際は、整式の割り算を用いた次数下げが有効である。

解法1

点 $P$ は曲線 $y = x^2 - 4$ 上の点であるから、その $x$ 座標を $t$ とおくと、点 $P$ の座標は $(t, t^2 - 4)$ と表せる。また、点 $P$ は点 $B(-2, 0)$ から点 $A(2, 0)$ まで動くので、$t$ のとり得る値の範囲は以下のようになる。

$$ -2 \le t \le 2 $$

距離 $PA$ が最大になるとき、その2乗 $PA^2$ も最大となる。 $f(t) = PA^2$ とおくと、2点間の距離の公式より以下の式が成り立つ。

$$ \begin{aligned} f(t) &= (t - 2)^2 + (t^2 - 4 - 0)^2 \\ &= (t^2 - 4t + 4) + (t^4 - 8t^2 + 16) \\ &= t^4 - 7t^2 - 4t + 20 \end{aligned} $$

$f(t)$ を $t$ について微分する。

$$ \begin{aligned} f'(t) &= 4t^3 - 14t - 4 \\ &= 2(2t^3 - 7t - 2) \end{aligned} $$

$f'(2) = 2(16 - 14 - 2) = 0$ であるから、因数定理により $2t^3 - 7t - 2$ は $t - 2$ を因数にもつ。因数分解を行うと以下のようになる。

$$ f'(t) = 2(t - 2)(2t^2 + 4t + 1) $$

$f'(t) = 0$ となる $t$ の値を求める。 $t - 2 = 0$ より $t = 2$。 $2t^2 + 4t + 1 = 0$ を解くと、$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$。

ここで、$-2 < \frac{-2 - \sqrt{2}}{2} < \frac{-2 + \sqrt{2}}{2} < 2$ である。（$\sqrt{2} \approx 1.41$ であるから、これらは約 $-1.71$, $-0.29$ となり定義域の区間内に含まれる）これらを $\alpha = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2}$, $\beta = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}$ とおく。

$-2 \le t \le 2$ における $f(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$-2$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$2$
$f'(t)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f(t)$	$16$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$0$

増減表より、$f(t)$ が最大となる候補は、左端点 $t = -2$ のときか、極大となる $t = \beta$ のときのいずれかである。

$t = -2$ のとき、

$$ f(-2) = (-2 - 2)^2 + (4 - 4)^2 = 16 $$

次に $t = \beta$ のときの極大値 $f(\beta)$ を求める。 $\beta$ は $2t^2 + 4t + 1 = 0$ の解であるから、$\beta^2 + 2\beta + \frac{1}{2} = 0$ を満たす。 $f(t)$ を $t^2 + 2t + \frac{1}{2}$ で割ると、次のように変形できる。

$$ f(t) = \left( t^2 + 2t + \frac{1}{2} \right) \left( t^2 - 2t - \frac{7}{2} \right) + 4t + \frac{87}{4} $$

この式に $t = \beta$ を代入すると、$\beta^2 + 2\beta + \frac{1}{2} = 0$ であるから、第一項は消去される。

$$ \begin{aligned} f(\beta) &= 4\beta + \frac{87}{4} \\ &= 4 \left( \frac{-2 + \sqrt{2}}{2} \right) + \frac{87}{4} \\ &= -4 + 2\sqrt{2} + \frac{87}{4} \\ &= \frac{71}{4} + 2\sqrt{2} \end{aligned} $$

$f(-2)$ と $f(\beta)$ の大小を比較する。

$$ f(-2) = 16 = \frac{64}{4} $$

$$ f(\beta) = \frac{71}{4} + 2\sqrt{2} > \frac{71}{4} > \frac{64}{4} $$

したがって、$f(\beta) > f(-2)$ となり、$f(t)$ は $t = \beta$ のときに最大値をとることがわかる。よって、距離 $PA$ を最大にする点 $P$ の $x$ 座標は $\frac{-2 + \sqrt{2}}{2}$ である。

解説

図形上の動点と定点の距離の最大・最小を求める典型問題である。計算量を減らすため、距離をそのまま扱うのではなく、距離の2乗を関数として設定して微分するのが基本の定石である。また、導関数 $f'(t) = 0$ の解が無理数となるため、そのまま極大値を計算しようとすると手間がかかる。このような場合は「次数下げ（整式の割り算の利用）」を行うことで、計算ミスを防ぎつつ効率的に値を求めることができる。増減表を書いた後、極大値だけでなく端点（今回の場合は $t = -2$）での値との大小比較を忘れないよう注意が必要である。