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名古屋大学 1992年文系第3問解説

方針・初手

(1) は、被積分関数 $(x^2 + ax + b)^2$ を展開し、多項式の積分として項別に定積分を計算する。

(2) は、(1) で得られた $f(a, b)$ が $a, b$ についての2次式になるため、2変数の最小値を求める定石に従う。まずは一方の文字（たとえば $b$）について整理して平方完成を行い、残りの部分をもう一方の文字（$a$）について平方完成する。

解法1

(1)

被積分関数を展開して整理する。

$$ \begin{aligned} (x^2 + ax + b)^2 &= x^4 + a^2x^2 + b^2 + 2ax^3 + 2bx^2 + 2abx \\ &= x^4 + 2ax^3 + (a^2 + 2b)x^2 + 2abx + b^2 \end{aligned} $$

これを $0$ から $1$ まで積分する。

$$ \begin{aligned} f(a, b) &= \int_0^1 \{ x^4 + 2ax^3 + (a^2 + 2b)x^2 + 2abx + b^2 \} dx \\ &= \left[ \frac{1}{5}x^5 + \frac{a}{2}x^4 + \frac{a^2 + 2b}{3}x^3 + abx^2 + b^2x \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{5} + \frac{a}{2} + \frac{a^2 + 2b}{3} + ab + b^2 \\ &= \frac{1}{3}a^2 + b^2 + ab + \frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b + \frac{1}{5} \end{aligned} $$

(2)

(1) の結果を $b$ についての2次式とみて整理し、平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} f(a, b) &= b^2 + \left( a + \frac{2}{3} \right)b + \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2}a + \frac{1}{5} \\ &= \left( b + \frac{3a + 2}{6} \right)^2 - \left( \frac{3a + 2}{6} \right)^2 + \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2}a + \frac{1}{5} \\ &= \left( b + \frac{a}{2} + \frac{1}{3} \right)^2 - \frac{9a^2 + 12a + 4}{36} + \frac{12a^2 + 18a + \frac{36}{5}}{36} \\ &= \left( b + \frac{a}{2} + \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{3a^2 + 6a - 4 + \frac{36}{5}}{36} \\ &= \left( b + \frac{a}{2} + \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{3a^2 + 6a + \frac{16}{5}}{36} \\ &= \left( b + \frac{a}{2} + \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{1}{12}a^2 + \frac{1}{6}a + \frac{4}{45} \end{aligned} $$

続いて、残りの $a$ の部分について平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} f(a, b) &= \left( b + \frac{a}{2} + \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{1}{12}(a^2 + 2a) + \frac{4}{45} \\ &= \left( b + \frac{a}{2} + \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{1}{12}(a + 1)^2 - \frac{1}{12} + \frac{4}{45} \\ &= \left( b + \frac{a}{2} + \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{1}{12}(a + 1)^2 + \frac{-15 + 16}{180} \\ &= \left( b + \frac{a}{2} + \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{1}{12}(a + 1)^2 + \frac{1}{180} \end{aligned} $$

$a, b$ は実数であるから、

$$ \left( b + \frac{a}{2} + \frac{1}{3} \right)^2 \geqq 0 $$

$$ \frac{1}{12}(a + 1)^2 \geqq 0 $$

が成り立つ。したがって、$f(a, b)$ は2つの平方の項がともに $0$ となるときに最小値をとる。

最小となる条件は、

$$ \begin{cases} b + \frac{a}{2} + \frac{1}{3} = 0 \\ a + 1 = 0 \end{cases} $$

第2式より $a = -1$ である。これを第1式に代入して、

$$ \begin{aligned} b - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} &= 0 \\ b &= \frac{1}{6} \end{aligned} $$

よって、$f(a, b)$ は $a = -1, b = \frac{1}{6}$ のとき、最小値 $\frac{1}{180}$ をとる。

解説

多項式の定積分の計算と、2変数の2次式の最小値を求める標準的な問題である。

2変数の最小値を求める際、「1文字ずつ平方完成する」という手法は頻出の定石である。計算量がやや多いため、通分や分数の計算でミスをしないよう、途中式を丁寧に書いて整理することが求められる。どちらの文字から平方完成を始めても結果は同じだが、$a^2$ の係数よりも $b^2$ の係数の方が $1$ で扱いやすいため、$b$ について先に整理する方が計算の手間を減らすことができる。