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名古屋大学 1976年理系第4問解説

方針・初手

$x^3$ の係数が $1$ である $3$ 次関数を $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ とおく。定積分 $I$ を $a, b, c$ の式として表し、それが最小となるような $a, b, c$ の値を求める。積分区間が $[-1, 1]$ であることから、被積分関数を展開した際に現れる奇数次数の項の定積分が $0$ になる性質（偶関数・奇関数の性質）を活用する。

解法1

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ （$a, b, c$ は実数）とおく。

$I = \int_{-1}^1 (x^3 + ax^2 + bx + c)^2 dx$

被積分関数を展開すると、

$$ \begin{aligned} (x^3 + ax^2 + bx + c)^2 &= x^6 + a^2 x^4 + b^2 x^2 + c^2 + 2ax^5 + 2bx^4 + 2cx^3 + 2abx^3 + 2acx^2 + 2bcx \\ &= x^6 + 2ax^5 + (a^2+2b)x^4 + 2(ab+c)x^3 + (b^2+2ac)x^2 + 2bcx + c^2 \end{aligned} $$

となる。

積分区間が $[-1, 1]$ なので、奇数次数の項の定積分は $0$ になり、偶数次数の項の定積分は $2 \int_0^1$ となる。したがって、

$$ \begin{aligned} I &= 2 \int_0^1 \{ x^6 + (a^2+2b)x^4 + (b^2+2ac)x^2 + c^2 \} dx \\ &= 2 \left[ \frac{1}{7}x^7 + \frac{a^2+2b}{5}x^5 + \frac{b^2+2ac}{3}x^3 + c^2x \right]_0^1 \\ &= 2 \left( \frac{1}{7} + \frac{a^2+2b}{5} + \frac{b^2+2ac}{3} + c^2 \right) \\ &= 2 \left\{ \left( \frac{1}{5}a^2 + \frac{2}{3}ac + c^2 \right) + \left( \frac{1}{3}b^2 + \frac{2}{5}b + \frac{1}{7} \right) \right\} \end{aligned} $$

この式を $a, c$ に関する部分と、$b$ に関する部分に分けて平方完成する。

$a, c$ に関する部分は $c$ の2次式とみて平方完成すると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{5}a^2 + \frac{2}{3}ac + c^2 &= c^2 + \frac{2}{3}ac + \frac{1}{5}a^2 \\ &= \left( c + \frac{1}{3}a \right)^2 - \frac{1}{9}a^2 + \frac{1}{5}a^2 \\ &= \left( c + \frac{1}{3}a \right)^2 + \frac{4}{45}a^2 \end{aligned} $$

$b$ に関する部分を平方完成すると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3}b^2 + \frac{2}{5}b + \frac{1}{7} &= \frac{1}{3} \left( b^2 + \frac{6}{5}b \right) + \frac{1}{7} \\ &= \frac{1}{3} \left( b + \frac{3}{5} \right)^2 - \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{25} + \frac{1}{7} \\ &= \frac{1}{3} \left( b + \frac{3}{5} \right)^2 - \frac{3}{25} + \frac{1}{7} \\ &= \frac{1}{3} \left( b + \frac{3}{5} \right)^2 + \frac{4}{175} \end{aligned} $$

これらを $I$ の式に代入すると、

$$ I = 2 \left\{ \left( c + \frac{1}{3}a \right)^2 + \frac{4}{45}a^2 + \frac{1}{3} \left( b + \frac{3}{5} \right)^2 + \frac{4}{175} \right\} $$

となる。

$a, b, c$ は実数であるから、$\left( c + \frac{1}{3}a \right)^2 \geqq 0$, $a^2 \geqq 0$, $\left( b + \frac{3}{5} \right)^2 \geqq 0$ である。したがって、$I$ が最小となるのは、

$$ c + \frac{1}{3}a = 0 \quad \text{かつ} \quad a = 0 \quad \text{かつ} \quad b + \frac{3}{5} = 0 $$

のときである。

これを解くと、$a = 0$, $b = -\frac{3}{5}$, $c = 0$ を得る。このとき、最小値は

$$ I = 2 \times \frac{4}{175} = \frac{8}{175} $$

であり、求める $3$ 次関数は $f(x) = x^3 - \frac{3}{5}x$ となる。

解説

定積分を係数 $a, b, c$ の関数として表し、その最小値を求める問題である。被積分関数 $\{f(x)\}^2$ を展開する際、積分区間が対称であることを利用し、奇関数部分の積分が $0$ になることを最初に見越すと計算の負担が大幅に減る。得られた多変数の2次式は、互いに独立な変数グループ（今回は $a, c$ のグループと $b$ のグループ）に分け、それぞれで平方完成を行い、すべての平方が $0$ になる条件を求めるのが定石である。