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名古屋大学 1998年文系第1問解説

方針・初手

(1) は放物線と直線の式から $y$ を消去し、$x$ についての2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件（判別式 $D > 0$）を考える。

(2) は「解と係数の関係」を用いて共有点の座標から三角形の面積 $S$ を $k$ の式で表す。ルートを含む式の最大値問題となるため、$S^2$ を関数として考え、微分により増減を調べるのが定石である。

解法1

(1)

放物線 $y = -x^2 + 4$ と直線 $y = x + k$ の共有点の $x$ 座標は、次の方程式の解である。

$$ -x^2 + 4 = x + k $$

整理すると

$$ x^2 + x + k - 4 = 0 \quad \cdots \text{①} $$

放物線と直線が異なる2個の共有点を持つための条件は、2次方程式①が異なる2つの実数解を持つことである。 ①の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ であればよい。

$$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k - 4) = 17 - 4k $$

したがって

$$ 17 - 4k > 0 $$

よって、求める $k$ の範囲は

$$ k < \frac{17}{4} $$

(2)

$k > 0$ かつ (1) の条件を満たすため、$0 < k < \frac{17}{4}$ である。方程式①の2つの実数解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、解と係数の関係より

$$ \begin{aligned} \alpha + \beta &= -1 \\ \alpha \beta &= k - 4 \end{aligned} $$

が成り立つ。 2つの共有点 $P, Q$ は直線 $y = x + k$ 上にあるため、その座標は $P(\alpha, \alpha + k), Q(\beta, \beta + k)$ と表せる。原点を $O(0, 0)$ とすると、三角形 $OPQ$ の面積 $S$ は座標を用いた面積公式より次のように表される。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} |\alpha(\beta + k) - \beta(\alpha + k)| \\ &= \frac{1}{2} |\alpha\beta + \alpha k - \alpha\beta - \beta k| \\ &= \frac{1}{2} |k(\alpha - \beta)| \end{aligned} $$

ここで、$k > 0$ であり、$\alpha < \beta$ より $\alpha - \beta < 0$（すなわち $\beta - \alpha > 0$）であるから、絶対値を外すと

$$ S = \frac{1}{2} k (\beta - \alpha) $$

となる。次に、$(\beta - \alpha)^2$ を解と係数の関係を用いて表す。

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= (-1)^2 - 4(k - 4) \\ &= 17 - 4k \end{aligned} $$

$\beta - \alpha > 0$ より、$\beta - \alpha = \sqrt{17 - 4k}$ である。したがって、面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} k \sqrt{17 - 4k} $$

$S > 0$ であるから、$S$ が最大となるのは $S^2$ が最大となるときである。

$$ f(k) = S^2 = \frac{1}{4} k^2 (17 - 4k) = \frac{1}{4} (17k^2 - 4k^3) $$

とおき、$0 < k < \frac{17}{4}$ の範囲における $f(k)$ の増減を調べる。

$$ f'(k) = \frac{1}{4} (34k - 12k^2) = \frac{1}{2} k (17 - 6k) $$

$f'(k) = 0$ とすると、$k = 0, \frac{17}{6}$。 $0 < k < \frac{17}{4}$ における $f(k)$ の増減表は次のようになる。

$k$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{17}{6}$	$\cdots$	$\left(\frac{17}{4}\right)$
$f'(k)$		$+$	$0$	$-$
$f(k)$	$(0)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$(0)$

増減表より、$f(k)$ は $k = \frac{17}{6}$ のとき最大値をとる。このとき、最大となる面積 $S$ は

$$ \begin{aligned} S &= \sqrt{f\left(\frac{17}{6}\right)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{6} \sqrt{17 - 4 \cdot \frac{17}{6}} \\ &= \frac{17}{12} \sqrt{17 - \frac{34}{3}} \\ &= \frac{17}{12} \sqrt{\frac{17}{3}} \\ &= \frac{17\sqrt{51}}{36} \end{aligned} $$

解法2

(2) の面積の立式と最大値の求め方についての別解。

点と直線の距離を用いて面積 $S$ を求める。直線 $l$ の方程式は $x - y + k = 0$ である。原点 $O$ から直線 $l$ に下ろした垂線の長さ（三角形 $OPQ$ の高さ）を $h$ とすると

$$ h = \frac{|0 - 0 + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{k}{\sqrt{2}} \quad (\because k > 0) $$

また、方程式 $x^2 + x + k - 4 = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、$P(\alpha, \alpha + k), Q(\beta, \beta + k)$ であるから、線分 $PQ$ の長さ（底辺）は

$$ \begin{aligned} PQ &= \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + \{(\beta + k) - (\alpha + k)\}^2} \\ &= \sqrt{2(\beta - \alpha)^2} \\ &= \sqrt{2} (\beta - \alpha) \quad (\because \beta > \alpha) \end{aligned} $$

よって、面積 $S$ は

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot h \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}(\beta - \alpha) \cdot \frac{k}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} k (\beta - \alpha) \end{aligned} $$

解法1と同様に解と係数の関係から $\beta - \alpha = \sqrt{17 - 4k}$ を代入し、$S = \frac{1}{2} k \sqrt{17 - 4k}$ を得る。

これを最大化するために、相加平均と相乗平均の関係を利用する。 $S^2 = \frac{1}{4} k^2 (17 - 4k) = \frac{1}{32} \cdot 2k \cdot 2k \cdot (17 - 4k)$ と変形する。 $0 < k < \frac{17}{4}$ より $2k > 0$ かつ $17 - 4k > 0$ であるから、3つの正の数 $2k, 2k, 17 - 4k$ に対して相加平均と相乗平均の関係を用いると

$$ \frac{2k + 2k + (17 - 4k)}{3} \geqq \sqrt[3]{2k \cdot 2k \cdot (17 - 4k)} $$

$$ \frac{17}{3} \geqq \sqrt[3]{4k^2(17 - 4k)} $$

両辺を3乗して整理すると

$$ \begin{aligned} \frac{17^3}{27} &\geqq 4k^2(17 - 4k) \\ \frac{17^3}{27} &\geqq 16 S^2 \\ S^2 &\leqq \frac{17^3}{16 \cdot 27} = \frac{17^2 \cdot 17}{4^2 \cdot 3^3} \end{aligned} $$

$S > 0$ であるから

$$ S \leqq \sqrt{\frac{17^2 \cdot 17 \cdot 3}{4^2 \cdot 3^4}} = \frac{17\sqrt{51}}{36} $$

等号が成立するのは、$2k = 17 - 4k$ すなわち $k = \frac{17}{6}$ のときである。これは $0 < k < \frac{17}{4}$ を満たす。したがって、$k = \frac{17}{6}$ のとき面積は最大値 $\frac{17\sqrt{51}}{36}$ をとる。

解説

2次曲線と直線の交点に関する問題の典型的な解法を問う問題である。交点の座標を直接求めようとすると解の公式を使うことになり計算が非常に煩雑になるため、「交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおいて解と係数の関係を利用する」のが定石である。また、原点と他の2点を結ぶ三角形の面積は、座標を用いた公式 $S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$ を使うと手早く計算できる。

最大値を求める過程では、ルートのついた関数の扱いに注意したい。ルートの中身を含めてそのまま微分してもよいが、$S > 0$ であることを確認した上で、$S^2$ を新しい関数としてその増減を調べることで、計算ミスを大幅に減らすことができる。解法2のように相加相乗平均を工夫して用いるアプローチも、計算量を減らす強力な手段となる。