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名古屋大学 2017年文系第1問解説

方針・初手

(1) 与えられた3次関数を微分し、増減表を作成して極値を求める。グラフの概形は極値と座標軸との交点に注意して把握する。

(2) 2曲線が異なる3点で交わることは、方程式 $f(x)=g(x)$ が異なる3つの実数解をもつことと同値である。方程式を整理し、因数定理を用いて実数解の個数を調べる。

(3) 「2つの部分の面積が等しい」という条件は、3つの交点の $x$ 座標を $0, \alpha, \beta$ ($0 < \alpha < \beta$) とおいたとき、$\int_0^\beta \{g(x) - f(x)\} dx = 0$ と立式できる。これを利用して $a$ の値と交点の座標を求める。

解法1

(1)

$$ g(x) = x(x-4)^2 = x^3 - 8x^2 + 16x $$

関数 $g(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ g'(x) = 3x^2 - 16x + 16 = (3x-4)(x-4) $$

$g'(x) = 0$ とすると、$x = \frac{4}{3}, 4$ である。増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$\frac{4}{3}$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$g'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

極大値は $g\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \left(\frac{4}{3} - 4\right)^2 = \frac{4}{3} \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{256}{27}$ である。極小値は $g(4) = 0$ である。

また、$g(x) = 0$ を解くと $x = 0, 4$ であり、グラフは原点を通り、点 $(4, 0)$ で $x$ 軸に接する。以上の情報からグラフの概形を描くことができる。

(2)

2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $f(x) = g(x)$ の実数解である。

$$ ax^2 = x^3 - 8x^2 + 16x $$

$$ x^3 - (a+8)x^2 + 16x = 0 $$

$$ x \{ x^2 - (a+8)x + 16 \} = 0 $$

この方程式が異なる3つの実数解をもつことを示せばよい。 1つの解は $x = 0$ である。残りの解は、2次方程式 $x^2 - (a+8)x + 16 = 0$ の解である。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ D = (a+8)^2 - 4 \cdot 16 = (a+8)^2 - 64 $$

$a > 0$ であるから $a+8 > 8$ であり、$(a+8)^2 > 64$ となる。よって、$D > 0$ となり、この2次方程式は異なる2つの実数解をもつ。

さらに、$x = 0$ がこの2次方程式の解であるかを確認する。 $x = 0$ を左辺に代入すると $0^2 - (a+8) \cdot 0 + 16 = 16 \neq 0$ となるため、$x = 0$ は解ではない。

以上より、方程式 $f(x) = g(x)$ は異なる3つの実数解をもつため、2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ は相異なる3点で交わる。（証明終）

(3)

(2)の2次方程式 $x^2 - (a+8)x + 16 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とおく。解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = a + 8 \\ \alpha \beta = 16 \end{cases} $$

$a > 0$ であるから $\alpha + \beta > 8 > 0$、また $\alpha \beta = 16 > 0$ である。和も積も正であることから、$\alpha$ と $\beta$ はともに正の実数である。したがって、3つの交点の $x$ 座標の大小関係は $0 < \alpha < \beta$ となる。

このとき、$0 \leqq x \leqq \alpha$ の範囲と $\alpha \leqq x \leqq \beta$ の範囲で囲まれる2つの部分の面積を考える。 $x = \alpha$ の前後で $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の上下関係が入れ替わる。囲まれた2つの部分の面積が等しくなる条件は、

$$ \int_0^\alpha \{ g(x) - f(x) \} dx = \int_\alpha^\beta \{ f(x) - g(x) \} dx $$

すなわち、

$$ \int_0^\alpha \{ g(x) - f(x) \} dx + \int_\alpha^\beta \{ g(x) - f(x) \} dx = 0 $$

$$ \int_0^\beta \{ g(x) - f(x) \} dx = 0 $$

が成り立つことである。

$$ g(x) - f(x) = x^3 - (a+8)x^2 + 16x = x(x-\alpha)(x-\beta) = x^3 - (\alpha+\beta)x^2 + \alpha\beta x $$

これを積分する。

$$ \begin{aligned} \int_0^\beta \{ x^3 - (\alpha+\beta)x^2 + \alpha\beta x \} dx &= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{\alpha+\beta}{3}x^3 + \frac{\alpha\beta}{2}x^2 \right]_0^\beta \\ &= \frac{1}{4}\beta^4 - \frac{\alpha+\beta}{3}\beta^3 + \frac{\alpha\beta}{2}\beta^2 \\ &= \beta^3 \left( \frac{1}{4}\beta - \frac{1}{3}(\alpha+\beta) + \frac{1}{2}\alpha \right) \\ &= \beta^3 \left( \frac{1}{6}\alpha - \frac{1}{12}\beta \right) \end{aligned} $$

これが $0$ となり、$\beta > 0$ であるから、

$$ \frac{1}{6}\alpha - \frac{1}{12}\beta = 0 $$

$$ \beta = 2\alpha $$

これを $\alpha \beta = 16$ に代入すると、

$$ 2\alpha^2 = 16 $$

$$ \alpha^2 = 8 $$

$\alpha > 0$ より、$\alpha = 2\sqrt{2}$ である。このとき、$\beta = 2\alpha = 4\sqrt{2}$ となる。

したがって、3つの交点の $x$ 座標は $x = 0, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}$ である。また、$\alpha + \beta = a + 8$ より、

$$ 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = a + 8 $$

$$ a = 6\sqrt{2} - 8 $$

($6\sqrt{2} = \sqrt{72} > \sqrt{64} = 8$ より、$a > 0$ を満たす。)

解法2

(3)の別解

(2)より、方程式 $x^3 - (a+8)x^2 + 16x = 0$ は $x = 0$ および正の異なる2つの実数解をもつ。最大の解を $\beta$ とおく。面積が等しくなる条件は解法1と同様に、

$$ \int_0^\beta \{ x^3 - (a+8)x^2 + 16x \} dx = 0 $$

と表せる。積分を計算すると、

$$ \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+8}{3}x^3 + 8x^2 \right]_0^\beta = \frac{1}{4}\beta^4 - \frac{a+8}{3}\beta^3 + 8\beta^2 = 0 $$

$\beta > 0$ より、両辺を $\beta^2$ で割って整理すると、

$$ \frac{1}{4}\beta^2 - \frac{a+8}{3}\beta + 8 = 0 $$

$$ 3\beta^2 - 4(a+8)\beta + 96 = 0 $$

一方で、$\beta$ は方程式 $x^2 - (a+8)x + 16 = 0$ の解であるから、

$$ \beta^2 - (a+8)\beta + 16 = 0 $$

が成り立つ。これより $(a+8)\beta = \beta^2 + 16$ を得て、上の式に代入する。

$$ 3\beta^2 - 4(\beta^2 + 16) + 96 = 0 $$

$$ -\beta^2 + 32 = 0 $$

$$ \beta^2 = 32 $$

$\beta > 0$ より $\beta = 4\sqrt{2}$ である。これを $\beta^2 - (a+8)\beta + 16 = 0$ に代入すると、

$$ 32 - 4\sqrt{2}(a+8) + 16 = 0 $$

$$ 4\sqrt{2}(a+8) = 48 $$

$$ a+8 = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} $$

$$ a = 6\sqrt{2} - 8 $$

このとき、$x^2 - 6\sqrt{2}x + 16 = 0$ の解は、解の公式を用いて計算すると

$$ x = 3\sqrt{2} \pm \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 16} = 3\sqrt{2} \pm \sqrt{18 - 16} = 3\sqrt{2} \pm \sqrt{2} $$

よって、$x = 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}$ となり、もう一つの正の交点は $2\sqrt{2}$ である。したがって交点の $x$ 座標は $0, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}$ となる。

解説

(1)と(2)は微分法と方程式の実数解の個数に関する標準的な問題である。(2)では因数定理を用いて方程式を落とし込み、2次方程式の判別式に帰着させるのが定石である。$a>0$ の条件が判別式の符号決定に効いている点に注意する。

(3)の面積が等しいという条件を、定積分が $0$ になるという方程式 $\int_0^\beta \{g(x) - f(x)\} dx = 0$ へと言い換える発想がこの問題の最大のポイントである。それぞれの面積を個別に求めて等置すると計算が煩雑になるため、定積分の性質をうまく利用したい。解法1のように解と係数の関係を併用すると計算が非常にシンプルになる。解法2のように次数下げのテクニックを用いてもよい。