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名古屋大学 2000年文系第1問解説

方針・初手

曲線 $C$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接線 $l$ の方程式を $t$ を用いて表す。

係数比較により $a, b$ を $t$ で表し、与えられた $t$ の変域から $t$ を消去して $a, b$ の関係式を導く。

面積についても、接線と曲線の式から被積分関数が $(x - t)^2$ となる性質を利用して定積分を計算し、$t$ の関数として最小値を求める。

解法1

(1)

曲線 $C$ の方程式を展開すると $y = -x^2 + x + 2$ であるから、導関数は、 $$y' = -2x + 1$$ となる。

曲線 $C$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ とおく。条件より、 $$0 \leqq t \leqq 2$$ である。

このとき、接線の傾きは $-2t + 1$ であり、接点の座標は $(t, -t^2 + t + 2)$ となるから、接線 $l$ の方程式は、 $$y - (-t^2 + t + 2) = (-2t + 1)(x - t)$$ となる。

整理すると、 $$\begin{aligned} y &= (-2t + 1)x + 2t^2 - t - t^2 + t + 2 \\ &= (-2t + 1)x + t^2 + 2 \end{aligned}$$ となる。

これが $y = ax + b$ と一致するので、係数を比較して、 $$a = -2t + 1$$ $$b = t^2 + 2$$ が成り立つ。

第1式を $t$ について解くと $t = \frac{1 - a}{2}$ であり、これを $0 \leqq t \leqq 2$ に代入すると、 $$0 \leqq \frac{1 - a}{2} \leqq 2$$ $$0 \leqq 1 - a \leqq 4$$ $$-3 \leqq a \leqq 1$$ となる。

また、$t = \frac{1 - a}{2}$ を $b = t^2 + 2$ に代入すると、 $$\begin{aligned} b &= \left( \frac{1 - a}{2} \right)^2 + 2 \\ &= \frac{1}{4}(a - 1)^2 + 2 \end{aligned}$$ となる。

以上より、点 $(a, b)$ の存在範囲は、放物線 $b = \frac{1}{4}(a - 1)^2 + 2$ の $-3 \leqq a \leqq 1$ の部分である。$ab$ 平面上に図示すると、頂点が $(1, 2)$ で下に凸の放物線の一部となる。両端の点は $(-3, 6)$ と $(1, 2)$ である。

(2)

曲線 $C$ は上に凸の放物線であり、接線 $l$ は $C$ の上側にあるため、面積 $S$ を求める定積分の被積分関数は $$(ax + b) - (-x^2 + x + 2) = (x - t)^2$$ となる。

したがって、曲線 $C$ および3つの直線 $l, x = 0, x = 2$ で囲まれた図形の面積 $S$ は、 $$S = \int_{0}^{2} (x - t)^2 dx$$ となる。

これを計算すると、 $$\begin{aligned} S &= \left[ \frac{1}{3}(x - t)^3 \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{1}{3} \left\{ (2 - t)^3 - (-t)^3 \right\} \\ &= \frac{1}{3} \left( 8 - 12t + 6t^2 - t^3 + t^3 \right) \\ &= 2t^2 - 4t + \frac{8}{3} \end{aligned}$$ となる。

これを $t$ について平方完成すると、 $$S = 2(t - 1)^2 + \frac{2}{3}$$ となる。

$t$ の範囲は $0 \leqq t \leqq 2$ であるから、$S$ は $t = 1$ のとき最小値 $\frac{2}{3}$ をとる。

このとき、$a, b$ の値は、 $$a = -2 \cdot 1 + 1 = -1$$ $$b = 1^2 + 2 = 3$$ である。