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名古屋大学 1991年文系第2問解説

方針・初手

曲線外の点から引いた接線に関する問題であるため、まずは接点の座標を文字でおいて接線の方程式を立て、それが点 $A(a, b)$ を通る条件から、接点の $x$ 座標についての2次方程式を導く。その後は解と係数の関係を利用して処理を進める。三角形の面積が最大となるのは、底辺を固定したときに高さが最大となるとき、すなわち曲線上の点における接線が底辺と平行になるときであることに着目する。

解法1

(1)

曲線 $y = x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線の方程式は、$y' = 2x$ より、

$$ y - t^2 = 2t(x - t) $$

すなわち、

$$ y = 2tx - t^2 $$

これが点 $A(a, b)$ を通るので、

$$ b = 2at - t^2 $$

$$ t^2 - 2at + b = 0 $$

条件 $a^2 > b$ より、この $t$ についての2次方程式の判別式 $\frac{D}{4} = a^2 - b$ は正となるため、異なる2つの実数解をもつ。その2解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、接点 $P, Q$ の $x$ 座標は $\alpha, \beta$ であり、解と係数の関係から以下の式が成り立つ。

$$ \alpha + \beta = 2a $$

$$ \alpha\beta = b $$

2点 $P(\alpha, \alpha^2), Q(\beta, \beta^2)$ を通る直線 $PQ$ の方程式は、

$$ y - \alpha^2 = \frac{\beta^2 - \alpha^2}{\beta - \alpha}(x - \alpha) $$

$$ y = (\alpha + \beta)x - \alpha\beta $$

ここで解と係数の関係を用いると、直線 $PQ$ の方程式は、

$$ y = 2ax - b $$

となる。点 $R$ は曲線 $y = x^2$ の弧 $PQ$ 上にあり、弦 $PQ$ は固定されているため、$\triangle PQR$ の面積が最大となるのは、点 $R$ と直線 $PQ$ との距離が最大になるときである。これは、点 $R$ における接線が直線 $PQ$ と平行になるときに該当する。点 $R$ の $x$ 座標を $r$ とおくと、点 $R$ における接線の傾きは $2r$ であり、これが直線 $PQ$ の傾き $2a$ に等しいため、

$$ 2r = 2a $$

$$ r = a $$

ここで、$\alpha + \beta = 2a$ と $\alpha < \beta$ から、$\alpha < a < \beta$ が成り立つため、点 $R$ は確かに弧 $PQ$ 上に存在する。よって、点 $R$ の座標は、

$$ (a, a^2) $$

(2)

直線 $PQ$ の方程式は $2ax - y - b = 0$ と表せる。点 $R(a, a^2)$ と直線 $PQ$ の距離 $d$ は、

$$ d = \frac{|2a \cdot a - a^2 - b|}{\sqrt{(2a)^2 + (-1)^2}} = \frac{a^2 - b}{\sqrt{4a^2 + 1}} $$

（条件 $a^2 > b$ より絶対値をそのまま外した）また、線分 $PQ$ の長さ $l$ は、

$$ l = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\beta^2 - \alpha^2)^2} = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 \{1 + (\alpha + \beta)^2\}} $$

ここで、

$$ (\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 4a^2 - 4b = 4(a^2 - b) $$

$\beta > \alpha$ より $\beta - \alpha = 2\sqrt{a^2 - b}$ であるから、

$$ l = 2\sqrt{a^2 - b}\sqrt{1 + 4a^2} $$

よって、$\triangle PRQ$ の面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2}ld = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{a^2 - b}\sqrt{4a^2 + 1} \cdot \frac{a^2 - b}{\sqrt{4a^2 + 1}} = (a^2 - b)\sqrt{a^2 - b} = (a^2 - b)^{\frac{3}{2}} $$

解法2

(2)の別解（座標を用いた面積公式）

3点 $P(\alpha, \alpha^2), Q(\beta, \beta^2), R(a, a^2)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ は、各点を $R$ が原点に重なるように平行移動させて考えると、

$$ S = \frac{1}{2} |(\alpha - a)(\beta^2 - a^2) - (\beta - a)(\alpha^2 - a^2)| $$

$$ S = \frac{1}{2} |(\alpha - a)(\beta - a)\{(\beta + a) - (\alpha + a)\}| $$

$$ S = \frac{1}{2} |(\alpha - a)(\beta - a)(\beta - \alpha)| $$

解と係数の関係 $\alpha + \beta = 2a$ より、$a - \alpha = \beta - a$ であるから、

$$ (\alpha - a)(\beta - a) = -(\beta - a)^2 $$

また、$\beta - \alpha = (\beta - a) + (a - \alpha) = 2(\beta - a)$ であるから、これを代入すると、

$$ S = \frac{1}{2} |-2(\beta - a)^3| = |\beta - a|^3 $$

$\beta > a$ より絶対値はそのまま外れ、$(\beta - a)^2 = \beta^2 - 2a\beta + a^2$ において $\beta$ が $t^2 - 2at + b = 0$ の解であることから $\beta^2 - 2a\beta = -b$ となるため、

$$ (\beta - a)^2 = a^2 - b $$

$$ \beta - a = \sqrt{a^2 - b} $$

よって、

$$ S = (a^2 - b)^{\frac{3}{2}} $$

解説

放物線の外側の点から引いた2本の接線に関する典型問題である。接点を文字でおいて接線の方程式を立て、それが外部の点を通るという条件から接点の座標に関する2次方程式を導き、解と係数の関係を利用するアプローチは頻出である。また、放物線の弦と放物線で囲まれた図形（弓形）に内接する三角形の面積が最大となるのは、頂点における接線が弦と平行になるときであるという図形的性質はよく知られており、本問でも直接利用している。 (2)の面積計算においては、底辺と高さに分けて計算する【解法1】が標準的だが、サラスの公式や座標を用いた面積公式による【解法2】を用いると、計算量を大幅に削減できるため実戦的である。