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名古屋大学 2005年文系第1問解説

方針・初手

(1) は放物線と直線の交点を求め、定積分を用いて面積を計算する基本的な問題である。(2) は台形の面積を計算し、$t$ の関数として最大値を求める。台形の面積は「(上底+下底)×高さ÷2」で求められる。平行な2直線間の距離、およびそれぞれが放物線から切り取る線分の長さを計算して立式する。最大値を求める際の微分計算においては、根号を含むため変数の置き換えを行うと計算が見通しよくなる。

解法1

(1) 放物線 $R : y = -x^2 + 6$ と直線 $l : y = x$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $-x^2 + 6 = x$ を解いて求める。

$$ x^2 + x - 6 = 0 $$

$$ (x + 3)(x - 2) = 0 $$

これより、$x = -3, 2$ である。よって、放物線 $R$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積 $T$ は次のように計算できる。

$$ T = \int_{-3}^{2} \{(-x^2 + 6) - x\} dx = \int_{-3}^{2} -(x + 3)(x - 2) dx = \frac{1}{6} \{2 - (-3)\}^3 = \frac{125}{6} $$

(2) 直線 $y = x + t$ と放物線 $R$ の交点 $C(t), D(t)$ の $x$ 座標は、方程式 $-x^2 + 6 = x + t$ すなわち以下の2次方程式の2つの実数解である。

$$ x^2 + x + t - 6 = 0 $$

相異なる2点で交わる条件から、判別式を $D$ とすると

$$ D = 1^2 - 4(t - 6) = 25 - 4t > 0 $$

$t > 0$ であるから、$0 < t < \frac{25}{4}$ が成立する。この2次方程式の2つの解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、解と係数の関係、または解の公式から

$$ \beta - \alpha = \sqrt{25 - 4t} $$

線分 $AB$ の長さは、両端の $x$ 座標の差が $2 - (-3) = 5$ であり、直線 $l$ の傾きが $1$ であることから、直角二等辺三角形の辺の比を用いて

$$ AB = 5\sqrt{1^2 + 1^2} = 5\sqrt{2} $$

同様に、線分 $C(t)D(t)$ の長さは、直線 $y = x + t$ の傾きが $1$ であることから

$$ C(t)D(t) = \sqrt{2}(\beta - \alpha) = \sqrt{2}\sqrt{25 - 4t} $$

また、台形の高さ $h$ は、平行な2直線 $x - y = 0$ と $x - y + t = 0$ の間の距離である。直線 $x - y = 0$ 上の点 $(0, 0)$ と直線 $x - y + t = 0$ の距離として求まり、

$$ h = \frac{|0 - 0 + t|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{t}{\sqrt{2}} $$

したがって、台形の面積 $S(t)$ は

$$ S(t) = \frac{1}{2} \{AB + C(t)D(t)\} h = \frac{1}{2} (5\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{25 - 4t}) \frac{t}{\sqrt{2}} = \frac{t}{2}(5 + \sqrt{25 - 4t}) $$

よって、$f(t)$ は

$$ f(t) = \frac{S(t)}{T} = \frac{\frac{t}{2}(5 + \sqrt{25 - 4t})}{\frac{125}{6}} = \frac{3t(5 + \sqrt{25 - 4t})}{125} $$

この最大値を求めるため、$u = \sqrt{25 - 4t}$ とおく。 $0 < t < \frac{25}{4}$ より、$0 < u < 5$ である。 $u^2 = 25 - 4t$ より $t = \frac{25 - u^2}{4}$ であり、これを代入すると $f(t)$ は $u$ の関数 $g(u)$ として表せる。

$$ g(u) = \frac{3}{125} \cdot \frac{25 - u^2}{4} \cdot (5 + u) = \frac{3}{500} (5 - u)(5 + u)^2 $$

$g(u)$ を $u$ について微分すると、

$$ g'(u) = \frac{3}{500} \left\{ -1 \cdot (5 + u)^2 + (5 - u) \cdot 2(5 + u) \right\} = \frac{3}{500} (5 + u) \{ -(5 + u) + 10 - 2u \} = \frac{3}{500} (5 + u)(5 - 3u) $$

$0 < u < 5$ において $g'(u) = 0$ となるのは、$u = \frac{5}{3}$ のときである。増減表を書くと次のようになる。

$u$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{5}{3}$	$\cdots$	$(5)$
$g'(u)$		$+$	$0$	$-$
$g(u)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

したがって、$g(u)$ は $u = \frac{5}{3}$ のとき最大値をとる。その値は、

$$ g\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{3}{500} \left(5 - \frac{5}{3}\right)\left(5 + \frac{5}{3}\right)^2 = \frac{3}{500} \cdot \frac{10}{3} \cdot \left(\frac{20}{3}\right)^2 = \frac{1}{50} \cdot \frac{400}{9} = \frac{8}{9} $$

よって、$f(t)$ の最大値は $\frac{8}{9}$ である。

解法2

(2) について、$f(t)$ を直接 $t$ で微分して最大値を求めることもできる。$f(t)$ の立式までは解法1と同様とする。

$$ f(t) = \frac{3t(5 + \sqrt{25 - 4t})}{125} \quad \left(0 < t < \frac{25}{4}\right) $$

積の微分法より $f'(t)$ を計算する。

$$ f'(t) = \frac{3}{125} \left\{ 1 \cdot (5 + \sqrt{25 - 4t}) + t \cdot \frac{-4}{2\sqrt{25 - 4t}} \right\} = \frac{3}{125} \left( 5 + \sqrt{25 - 4t} - \frac{2t}{\sqrt{25 - 4t}} \right) $$

括弧の中を通分して分子を整理すると、

$$ f'(t) = \frac{3}{125} \cdot \frac{5\sqrt{25 - 4t} + (25 - 4t) - 2t}{\sqrt{25 - 4t}} = \frac{3}{125\sqrt{25 - 4t}} ( 5\sqrt{25 - 4t} + 25 - 6t ) $$

$f'(t) = 0$ となる条件は、分子が $0$ になることである。

$$ 5\sqrt{25 - 4t} = 6t - 25 $$

左辺が非負であることから、右辺も非負でなければならないため、$6t - 25 \ge 0$ より $t \ge \frac{25}{6}$ である。この条件下で両辺を2乗して整理する。

$$ 25(25 - 4t) = (6t - 25)^2 $$

$$ 625 - 100t = 36t^2 - 300t + 625 $$

$$ 36t^2 - 200t = 0 $$

$$ 4t(9t - 50) = 0 $$

$t \ge \frac{25}{6}$ を満たすのは $t = \frac{50}{9}$ である（これは $0 < t < \frac{25}{4}$ に適する）。 $f'(t)$ の符号を調べると、$0 < t < \frac{50}{9}$ のときは $f'(t) > 0$、$t > \frac{50}{9}$ のときは $f'(t) < 0$ となることから、$f(t)$ は $t = \frac{50}{9}$ で極大かつ最大となる。その最大値は、

$$ f\left(\frac{50}{9}\right) = \frac{3 \cdot \frac{50}{9}}{125} \left( 5 + \sqrt{25 - 4 \cdot \frac{50}{9}} \right) = \frac{2}{15} \left( 5 + \sqrt{\frac{25}{9}} \right) = \frac{2}{15} \left( 5 + \frac{5}{3} \right) = \frac{2}{15} \cdot \frac{20}{3} = \frac{8}{9} $$

解説

(2) で立式した関数の最大値を求める際、根号を含む関数の微分を避けるために $u = \sqrt{25 - 4t}$ と置換する（解法1）方針が有効である。そのまま $t$ で微分する（解法2）と、方程式を解く際に同値変形の確認（両辺の符号確認）や2乗の計算が入り、計算ミスや論理の飛躍を誘発しやすい。また、台形の面積計算においては、わざわざ4頂点の座標を全て求めてベクトルなどで面積公式を使うよりも、幾何的な意味（平行な2直線が切り取る線分の長さを上底・下底とし、直線間の距離を高さとする）から立式する方がシンプルである。