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名古屋大学 2009年文系第2問解説

方針・初手

(1) は、点 $P(p,q)$ の座標を $b$ を用いて表すことが第一歩となる。円の中心 $Q$、接点 $P$、垂線の足 $R$ のなす角が $120^\circ$ であることを、内積などを利用して立式する。

座標が求まった後は、「放物線と円が接する」という条件を「共有点 $P$ での接線の傾きが等しい」という条件に言い換え、$a, b$ の連立方程式を導き解く。

(2) は積分区間を $x$ 座標の大小で分け、放物線部分の面積と円弧部分の面積に分割して計算する。円弧部分の面積は無理関数の積分を避けて、扇形や台形の面積を組み合わせる幾何的なアプローチをとるのが有効である。

解法1

(1)

円 $(x-b)^2+(y-1)^2=1$ の中心は $Q(b, 1)$、半径は $1$ である。

点 $Q$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足は $R(b, 0)$ である。

これより $\vec{QR} = (0, -1)$ であり、$|\vec{QR}| = 1$ である。

点 $P(p, q)$ は円上の点であるから、$|\vec{QP}| = 1$ である。

条件 $\angle PQR = 120^\circ$ より、内積 $\vec{QP} \cdot \vec{QR}$ は次のように計算できる。

$$ \vec{QP} \cdot \vec{QR} = |\vec{QP}| |\vec{QR}| \cos 120^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} $$

一方、成分で計算すると $\vec{QP} = (p-b, q-1)$ であるから、

$$ \vec{QP} \cdot \vec{QR} = (p-b) \cdot 0 + (q-1) \cdot (-1) = -q + 1 $$

したがって、$-q + 1 = -\frac{1}{2}$ より $q = \frac{3}{2}$ である。

点 $P\left(p, \frac{3}{2}\right)$ は円上にあるので、

$$ (p-b)^2 + \left(\frac{3}{2}-1\right)^2 = 1 $$

$$ (p-b)^2 = \frac{3}{4} $$

条件 $0 < p < b$ より $p-b < 0$ であるから、

$$ p - b = -\frac{\sqrt{3}}{2} \iff p = b - \frac{\sqrt{3}}{2} $$

これで点 $P$ の座標は $\left(b - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ となる。

次に、点 $P$ における円の接線について考える。

直線 $QP$ の傾きは、

$$ \frac{\frac{3}{2} - 1}{\left(b - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - b} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $$

円の接線は直線 $QP$ と直交するため、点 $P$ における円の接線の傾きは $\sqrt{3}$ である。

また、放物線 $y = ax^2$ について $y' = 2ax$ であり、点 $P$ における放物線の接線の傾きは $2ap$ である。

円と放物線が点 $P$ で接する条件は、接線の傾きが等しいことであるため、

$$ 2a\left(b - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3} \quad \cdots \text{①} $$

さらに、点 $P$ は放物線上にあるから、

$$ a\left(b - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{2} \quad \cdots \text{②} $$

①より $a\left(b - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、これを②に代入すると、

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \left(b - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} $$

$$ b - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \iff b = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

このとき、$p = b - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ となる。

これを①に代入して、

$$ 2a\sqrt{3} = \sqrt{3} \iff a = \frac{1}{2} $$

$a = \frac{1}{2} > 0, b = \frac{3\sqrt{3}}{2} > 0, 0 < \sqrt{3} < \frac{3\sqrt{3}}{2}$ であり、すべての条件を満たす。

よって、$a = \frac{1}{2}, b = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ である。

(2)

(1) より、$P\left(\sqrt{3}, \frac{3}{2}\right)$、$Q\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1\right)$、$R\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ であり、放物線の方程式は $y = \frac{1}{2}x^2$ である。

点 $P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $H(\sqrt{3}, 0)$ とする。

求める面積を $S$ とし、これを直線 $x = \sqrt{3}$ で左右の2つの部分に分ける。

(i) 左側の面積 $S_1$

区間 $0 \leqq x \leqq \sqrt{3}$ において、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $x$ 軸および $x = \sqrt{3}$ で囲まれた部分の面積である。

$$ S_1 = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{2}x^2 dx = \left[ \frac{1}{6}x^3 \right]_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{1}{6} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

(ii) 右側の面積 $S_2$

区間 $\sqrt{3} \leqq x \leqq \frac{3\sqrt{3}}{2}$ において、弧 $PR$ と $x$ 軸および $x = \sqrt{3}$ で囲まれた部分の面積である。

この領域は、線分 $HP$ と線分 $QR$ を平行な辺とする台形 $HPQR$ から、扇形 $PQR$ を除いた部分に等しい。

台形 $HPQR$ は、平行な辺の長さが $HP = \frac{3}{2}$、$QR = 1$、これらに垂直な高さが $HR = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、その面積は

$$ \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2} + 1\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{8} $$

扇形 $PQR$ は半径 $1$、中心角 $120^\circ$ であるから、その面積は

$$ \pi \cdot 1^2 \cdot \frac{120}{360} = \frac{\pi}{3} $$

よって、$S_2$ は

$$ S_2 = \frac{5\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{3} $$

以上より、求める面積 $S$ は

$$ S = S_1 + S_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{5\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{9\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{3} $$

解説

(1) は「放物線と円の接点」という設定のもと、図形的関係を数式に落とし込む問題である。「2つの曲線が接する」条件は、「共有点をもつ（通る）」かつ「その点での接線の傾きが一致する」ことの連立方程式で処理するのが基本である。点 $P$ の座標を導出する際、図を描いてベクトルや内積を活用すると、正負の取り違えなどの計算ミスを防ぎやすい。

(2) は円弧を含む領域の面積計算である。円の方程式を無理関数の形にして定積分しようとすると、計算が極めて煩雑になる。このような場合は、求める面積を三角形、台形、扇形といった基本的な幾何図形の足し引きで表現するアプローチが定石である。