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名古屋大学 2007年文系第2問解説

方針・初手

(1) は放物線上の点における接線の方程式を導関数を用いて求める。

(2) は(1)で求めた接線がもう一つの放物線 $D$ にも接する条件を考える。連立して得られる2次方程式が重解をもつ条件（判別式 $\mathcal{D} = 0$）を利用する。

(3) は2本の共通接線と放物線 $C$ で囲まれた面積を求める。2本の接線の交点の $x$ 座標を境に積分区間を分けて定積分を計算するか、放物線と2接線で囲まれた図形の面積の公式を利用する。

解法1

(1)

$y = \frac{1}{2}x^2$ を $x$ で微分すると、$y' = x$ となる。

点 $P\left(t, \frac{1}{2}t^2\right)$ における接線 $l$ の傾きは $t$ であるから、その方程式は、

$$ y - \frac{1}{2}t^2 = t(x - t) $$

よって、接線 $l$ の方程式は、

$$ y = tx - \frac{1}{2}t^2 $$

(2)

(1) で求めた接線 $l$ が放物線 $D: y = -(x-a)^2$ にも接するとき、これらを連立した $x$ についての2次方程式は重解をもつ。

$$ -(x-a)^2 = tx - \frac{1}{2}t^2 $$

展開して整理すると、

$$ -\left(x^2 - 2ax + a^2\right) = tx - \frac{1}{2}t^2 $$

$$ x^2 + (t - 2a)x + a^2 - \frac{1}{2}t^2 = 0 $$

この2次方程式の判別式を $\mathcal{D}$ とすると、$\mathcal{D} = 0$ が成り立つので、

$$ \mathcal{D} = (t - 2a)^2 - 4\left(a^2 - \frac{1}{2}t^2\right) = 0 $$

$$ t^2 - 4at + 4a^2 - 4a^2 + 2t^2 = 0 $$

$$ 3t^2 - 4at = 0 $$

$$ t(3t - 4a) = 0 $$

$a$ は正の実数であるから、$t = 0, \frac{4}{3}a$ となる。

これを $l$ の方程式に代入すると、

$t = 0$ のとき、

$$ y = 0 $$

$t = \frac{4}{3}a$ のとき、

$$ y = \frac{4}{3}ax - \frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}a\right)^2 = \frac{4}{3}ax - \frac{8}{9}a^2 $$

以上より、2本の共通接線 $l_1, l_2$ は、

$$ y = 0, \quad y = \frac{4}{3}ax - \frac{8}{9}a^2 $$

(3)

2本の共通接線を $l_1: y = 0$, $l_2: y = \frac{4}{3}ax - \frac{8}{9}a^2$ とする。これらの交点の $x$ 座標を求める。

$$ 0 = \frac{4}{3}ax - \frac{8}{9}a^2 $$

$a > 0$ より、

$$ x = \frac{2}{3}a $$

また、$C$ と $l_1$ の接点の $x$ 座標は $0$、$C$ と $l_2$ の接点の $x$ 座標は $\frac{4}{3}a$ である。求める面積を $S$ とすると、$S$ は $0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}a$ の区間と $\frac{2}{3}a \leqq x \leqq \frac{4}{3}a$ の区間に分けて積分することで求められる。

$$ S = \int_{0}^{\frac{2}{3}a} \left( \frac{1}{2}x^2 - 0 \right) dx + \int_{\frac{2}{3}a}^{\frac{4}{3}a} \left\{ \frac{1}{2}x^2 - \left( \frac{4}{3}ax - \frac{8}{9}a^2 \right) \right\} dx $$

ここで、第2項の被積分関数は $C$ と $l_2$ が $x = \frac{4}{3}a$ で接することから平方完成の形で表すことができる。

$$ \frac{1}{2}x^2 - \frac{4}{3}ax + \frac{8}{9}a^2 = \frac{1}{2} \left( x^2 - \frac{8}{3}ax + \frac{16}{9}a^2 \right) = \frac{1}{2} \left( x - \frac{4}{3}a \right)^2 $$

したがって、定積分は次のように計算できる。

$$ S = \int_{0}^{\frac{2}{3}a} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{\frac{2}{3}a}^{\frac{4}{3}a} \frac{1}{2} \left( x - \frac{4}{3}a \right)^2 dx $$

$$ S = \left[ \frac{1}{6}x^3 \right]_{0}^{\frac{2}{3}a} + \left[ \frac{1}{6} \left( x - \frac{4}{3}a \right)^3 \right]_{\frac{2}{3}a}^{\frac{4}{3}a} $$

$$ S = \frac{1}{6} \left( \frac{2}{3}a \right)^3 + \frac{1}{6} \left\{ 0 - \left( \frac{2}{3}a - \frac{4}{3}a \right)^3 \right\} $$

$$ S = \frac{1}{6} \cdot \frac{8}{27}a^3 - \frac{1}{6} \left( -\frac{2}{3}a \right)^3 $$

$$ S = \frac{4}{81}a^3 + \frac{4}{81}a^3 = \frac{8}{81}a^3 $$

解説

放物線の共通接線、および接線と放物線で囲まれた面積を求める、数学IIの微分積分の標準的な問題である。

(2)で共通接線を求める際、一方の放物線上の点における接線を文字で置き、それがもう一方の放物線にも接する（判別式 $\mathcal{D} = 0$）とする方針が最も確実で計算量も抑えられる。

(3)の面積計算では、放物線 $y = f(x)$ とその上の点 $x = \alpha$ における接線を $y = g(x)$ とするとき、$f(x) - g(x) = c(x - \alpha)^2$ （$c$ は $x^2$ の係数）と変形できる性質を利用すると、積分計算を大幅に簡略化できる。

また、放物線 $y = cx^2+dx+e$ とその2本の接線によって囲まれる面積は、接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、常に $\frac{|c|}{12}(\beta - \alpha)^3$ で与えられる。本解答では記述式試験を想定し定積分を用いて導出したが、見直しや検算にこの公式を活用するとよい。