名古屋大学 2015年 文系 第1問 解説

方針・初手

点と直線の距離の公式を用いて、点 $Q$ を通り円 $C$ に接する直線の傾きを求めて方程式を立てる。交点 $R$ の座標は、同様にして求めた直線 $PR$ の方程式と連立することで得られる。後半の三角形の周長は、円 $C$ が $\triangle PQR$ の内接円であることを利用し、面積との関係から求めるのが鮮やかである。

解法1

(1) 点 $Q(b, 0)$ を通り、$x$ 軸に垂直でない直線を $y = m(x-b)$ とおく。 すなわち $mx - y - mb = 0$ である。 これが円 $C: x^2 + (y-1)^2 = 1$ に接するためには、円の中心 $(0, 1)$ と直線の距離が半径 $1$ と等しければよい。

$$ \frac{|m \cdot 0 - 1 - mb|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1 $$

$$ |-mb - 1| = \sqrt{m^2 + 1} $$

両辺を2乗して整理する。

$$ m^2b^2 + 2mb + 1 = m^2 + 1 $$

$$ m^2(b^2 - 1) + 2mb = 0 $$

$$ m \{ m(b^2 - 1) + 2b \} = 0 $$

直線が $x$ 軸に一致するとき $m=0$ となるため、題意より $m \neq 0$ である。 したがって、$m(b^2 - 1) + 2b = 0$ となる。 $b=1$ のとき $2=0$ となり矛盾するため、$b \neq 1$ であり、

$$ m = \frac{-2b}{b^2 - 1} $$

よって、直線 $QR$ の方程式は

$$ y = \frac{-2b}{b^2 - 1} (x - b) $$

分母を払って整理すると

$$ (b^2 - 1)y = -2bx + 2b^2 $$

$$ 2bx + (b^2 - 1)y - 2b^2 = 0 $$

なお、$b=1$ のときは図形的に $x$ 軸に垂直な接線 $x=1$ となるが、これは上の式に $b=1$ を代入した $2x - 2 = 0 \iff x=1$ と一致する。 したがって、求める直線 $QR$ の方程式は

$$ 2bx + (b^2 - 1)y - 2b^2 = 0 $$

(2) 直線 $PR$ は点 $P(-a, 0)$ を通る円 $C$ の接線であるから、(1)の直線 $QR$ の方程式における $b$ を $-a$ に置き換えたものになる。

$$ -2ax + (a^2 - 1)y - 2a^2 = 0 $$

$$ 2ax - (a^2 - 1)y + 2a^2 = 0 $$

$R$ の座標は、これら2直線の交点であるから連立方程式を解く。

$$ \begin{cases} 2bx + (b^2 - 1)y - 2b^2 = 0 & \cdots \text{①} \\ 2ax - (a^2 - 1)y + 2a^2 = 0 & \cdots \text{②} \end{cases} $$

$\text{①} \times a - \text{②} \times b$ より

$$ a(b^2 - 1)y + b(a^2 - 1)y - 2ab^2 - 2a^2b = 0 $$

$$ (ab^2 - a + a^2b - b)y = 2ab(a+b) $$

$$ (ab - 1)(a + b)y = 2ab(a+b) $$

$a > 0, b > 0$ より $a+b \neq 0$、かつ条件より $ab \neq 1$ であるから

$$ y = \frac{2ab}{ab - 1} $$

次に $\text{①} \times (a^2 - 1) + \text{②} \times (b^2 - 1)$ より

$$ 2b(a^2 - 1)x + 2a(b^2 - 1)x - 2b^2(a^2 - 1) + 2a^2(b^2 - 1) = 0 $$

$$ 2(a^2b - b + ab^2 - a)x - 2(a^2b^2 - b^2 - a^2b^2 + a^2) = 0 $$

$$ 2(ab - 1)(a + b)x - 2(a - b)(a + b) = 0 $$

両辺を $2(a+b)$ で割り、$(ab - 1)$ で割ると

$$ x = \frac{a - b}{ab - 1} $$

したがって、点 $R$ の座標は

$$ \left( \frac{a - b}{ab - 1}, \frac{2ab}{ab - 1} \right) $$

(3) $R$ の $y$ 座標が正であるから、$\frac{2ab}{ab - 1} > 0$ であり、$ab > 0$ より $ab - 1 > 0 \iff ab > 1$ である。 円 $C$ は中心 $(0, 1)$、半径 $1$ の円であり、原点 $(0, 0)$ で $x$ 軸に接する。 点 $P, Q$ は $x$ 軸上の点であり、直線 $PR, QR$ は $C$ の接線であるから、円 $C$ は $\triangle PQR$ の内接円となる。 $\triangle PQR$ の面積を $S$ とすると、$S$ は底辺 $PQ$ と高さ $y_R$ を用いて次のように表せる。

$$ S = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot y_R = \frac{1}{2} (a + b) \frac{2ab}{ab - 1} = \frac{ab(a + b)}{ab - 1} $$

一方、内接円の半径を $r$、周の長さを $T$ とすると、$S = \frac{1}{2}rT$ が成り立つ。 $r = 1$ であるから

$$ S = \frac{1}{2}T $$

これら2つの式を等置して

$$ \frac{1}{2}T = \frac{ab(a + b)}{ab - 1} $$

$$ T = \frac{2ab(a + b)}{ab - 1} $$

(4) 条件より $PQ = a + b = 4$ であるから、これを(3)の式に代入する。

$$ T = \frac{2ab \cdot 4}{ab - 1} = \frac{8ab}{ab - 1} $$

ここで、$ab = u$ とおくと、

$$ T = \frac{8u}{u - 1} = \frac{8(u - 1) + 8}{u - 1} = 8 + \frac{8}{u - 1} $$

$a, b$ は和が $4$、積が $u$ の2正数であるから、2次方程式 $x^2 - 4x + u = 0$ の2つの正の解である。 この方程式が実数解をもつ条件（判別式 $D \ge 0$）より

$$ \frac{D}{4} = 2^2 - u \ge 0 \implies u \le 4 $$

また、(3)の条件 $ab > 1$ より $u > 1$ である。 したがって、$u$ のとりうる値の範囲は $1 < u \le 4$ である。 $T = 8 + \frac{8}{u - 1}$ は、$u > 1$ において $u$ が大きいほど小さくなる単調減少関数である。 よって、$T$ は $u = 4$ のとき最小となる。 $u = 4$ のとき、$a, b$ は $x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x - 2)^2 = 0$ の解であるから、$a = b = 2$ となる。 最小値は

$$ T = 8 + \frac{8}{4 - 1} = 8 + \frac{8}{3} = \frac{32}{3} $$

解法2

(3)の別解 円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいことを利用する。 円 $C$ の中心を $I(0, 1)$ とし、$C$ と $x$ 軸の接点は原点 $O(0, 0)$ である。 接線の性質より、$P$ からの2接線の長さは等しいため、直線 $PR$ と $C$ の接点を $S$ とすると

$$ PS = PO = a $$

同様に、直線 $QR$ と $C$ の接点を $U$ とすると

$$ QU = QO = b $$

また、$R$ からの接線の長さも等しいため $RS = RU$ である。 $RS$ の長さは、$\triangle RSI$ が $\angle RSI = 90^\circ$ の直角三角形であることから三平方の定理を用いて求める。

$$ RS^2 = RI^2 - IS^2 = RI^2 - 1^2 $$

$RI^2$ は(2)で求めた $R$ の座標を用いて

$$ RI^2 = \left( \frac{a - b}{ab - 1} - 0 \right)^2 + \left( \frac{2ab}{ab - 1} - 1 \right)^2 = \frac{(a - b)^2 + (ab + 1)^2}{(ab - 1)^2} = \frac{(a^2 + 1)(b^2 + 1)}{(ab - 1)^2} $$

したがって、

$$ RS^2 = \frac{a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 - (ab - 1)^2}{(ab - 1)^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{(ab - 1)^2} = \frac{(a + b)^2}{(ab - 1)^2} $$

$a > 0, b > 0, ab > 1$ より $a + b > 0, ab - 1 > 0$ であるから

$$ RS = \frac{a + b}{ab - 1} $$

$\triangle PQR$ の周の長さ $T$ は

$$ T = PQ + PS + SR + RU + UQ = (a + b) + a + 2RS + b = 2(a + b + RS) $$

これを代入して

$$ T = 2 \left( a + b + \frac{a + b}{ab - 1} \right) = 2(a + b) \left( 1 + \frac{1}{ab - 1} \right) = \frac{2ab(a + b)}{ab - 1} $$

解説

(3)において、円 $C$ が $\triangle PQR$ の内接円であることを見抜けるかが最大の山場である。図形的な性質に気づけば、面積と周長の関係 $S = \frac{1}{2}rT$ を用いて計算を大幅に削減できる。(4)は対称式で表された変数の最大・最小問題であり、和が一定の条件から積を1つの変数に置き換え、2次方程式の判別式から変域を求める典型的な処理である。

答え

(1) $2bx + (b^2 - 1)y - 2b^2 = 0$ (2) $R \left( \frac{a - b}{ab - 1}, \frac{2ab}{ab - 1} \right)$ (3) $T = \frac{2ab(a + b)}{ab - 1}$ (4) $a = 2$ のとき、最小値 $\frac{32}{3}$