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九州大学 1984年文系第3問解説

方針・初手

(1) 放物線 $y=kx^2$ を微分して、2点 $P, Q$ での接線の方程式を立てる。それらの交点 $R$ の座標を求め、ベクトルを用いた座標平面上の三角形の面積公式から計算する。
(2) 底辺を線分 $PQ$ と固定したとき、三角形 $PQD$ の面積が最大になるのは点 $D$ と直線 $PQ$ の距離が最大になるときである。点 $D$ の $x$ 座標を変数 $t$ でおき、点と直線の距離の公式を用いて、二次関数の最大値問題に帰着させる。

解法1

(1)

$y = kx^2$ を微分すると $y' = 2kx$ となる。点 $P(\alpha, k\alpha^2)$ における接線の方程式は

$$y - k\alpha^2 = 2k\alpha(x - \alpha)$$

整理して

$$y = 2k\alpha x - k\alpha^2 \quad \cdots ①$$

同様に、点 $Q(\beta, k\beta^2)$ における接線の方程式は

$$y = 2k\beta x - k\beta^2 \quad \cdots ②$$

①、②を連立して交点 $R$ の $x$ 座標を求める。

$$2k\alpha x - k\alpha^2 = 2k\beta x - k\beta^2$$

$$2k(\beta - \alpha)x = k(\beta^2 - \alpha^2) = k(\beta - \alpha)(\beta + \alpha)$$

$k > 0$ かつ $\alpha < \beta$ より $k(\beta - \alpha) \neq 0$ であるから、両辺を割って

$$x = \frac{\alpha + \beta}{2}$$

これを①に代入して $y$ 座標を求める。

$$y = 2k\alpha \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) - k\alpha^2 = k\alpha^2 + k\alpha\beta - k\alpha^2 = k\alpha\beta$$

よって、交点 $R$ の座標は $\left( \frac{\alpha + \beta}{2}, k\alpha\beta \right)$ である。

三角形 $PQR$ の面積を求めるために、点 $R$ を始点とするベクトル $\overrightarrow{RP}$ と $\overrightarrow{RQ}$ を考える。

$$\overrightarrow{RP} = \left( \alpha - \frac{\alpha + \beta}{2}, k\alpha^2 - k\alpha\beta \right) = \left( \frac{\alpha - \beta}{2}, -k\alpha(\beta - \alpha) \right)$$

$$\overrightarrow{RQ} = \left( \beta - \frac{\alpha + \beta}{2}, k\beta^2 - k\alpha\beta \right) = \left( \frac{\beta - \alpha}{2}, k\beta(\beta - \alpha) \right)$$

座標平面上の三角形の面積公式により、三角形 $PQR$ の面積 $S_1$ は

$$S_1 = \frac{1}{2} \left| \frac{\alpha - \beta}{2} \cdot k\beta(\beta - \alpha) - \left( -k\alpha(\beta - \alpha) \right) \cdot \frac{\beta - \alpha}{2} \right|$$

$$S_1 = \frac{1}{2} \left| -\frac{k\beta}{2}(\beta - \alpha)^2 + \frac{k\alpha}{2}(\beta - \alpha)^2 \right|$$

$$S_1 = \frac{1}{2} \left| -\frac{k}{2}(\beta - \alpha)^2 (\beta - \alpha) \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{k}{2}(\beta - \alpha)^3 \right|$$

$\alpha < \beta$ より $\beta - \alpha > 0$ であり、$k > 0$ であるから、絶対値をそのまま外して

$$S_1 = \frac{k}{4}(\beta - \alpha)^3$$

(2)

点 $D$ は放物線 $y = kx^2$ 上にあり、三角形 $PQR$ の内部に存在するため、その $x$ 座標を $t$ とすると $\alpha < t < \beta$ を満たす。点 $D$ の座標は $(t, kt^2)$ である。

直線 $PQ$ の方程式を求める。傾きは $\frac{k\beta^2 - k\alpha^2}{\beta - \alpha} = k(\alpha + \beta)$ であるから

$$y - k\alpha^2 = k(\alpha + \beta)(x - \alpha)$$

$$k(\alpha + \beta)x - y - k\alpha\beta = 0$$

点 $D(t, kt^2)$ と直線 $PQ$ との距離 $h$ は、点と直線の距離の公式より

$$h = \frac{\left| k(\alpha + \beta)t - kt^2 - k\alpha\beta \right|}{\sqrt{\{k(\alpha + \beta)\}^2 + (-1)^2}} = \frac{k \left| -t^2 + (\alpha + \beta)t - \alpha\beta \right|}{\sqrt{k^2(\alpha + \beta)^2 + 1}}$$

絶対値の中の二次式を因数分解して平方完成する。

$$-t^2 + (\alpha + \beta)t - \alpha\beta = -(t - \alpha)(t - \beta)$$

$\alpha < t < \beta$ の範囲において $-(t - \alpha)(t - \beta) > 0$ であるから、絶対値記号はそのままとれる。

$$h = \frac{k}{\sqrt{k^2(\alpha + \beta)^2 + 1}} \{ -(t - \alpha)(t - \beta) \}$$

$$h = \frac{k}{\sqrt{k^2(\alpha + \beta)^2 + 1}} \left\{ -\left( t - \frac{\alpha + \beta}{2} \right)^2 + \frac{(\beta - \alpha)^2}{4} \right\}$$

線分 $PQ$ は固定されているため長さは一定である。したがって、三角形 $PQD$ の面積が最大になるのは、点 $D$ と直線 $PQ$ との距離 $h$ が最大になるときである。上の式より、$h$ は $t = \frac{\alpha + \beta}{2}$ のとき最大値 $h_{\text{max}} = \frac{k(\beta - \alpha)^2}{4\sqrt{k^2(\alpha + \beta)^2 + 1}}$ をとる。

このとき、線分 $PQ$ の長さ $L$ は

$$L = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (k\beta^2 - k\alpha^2)^2} = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + k^2(\beta - \alpha)^2(\beta + \alpha)^2} = (\beta - \alpha)\sqrt{1 + k^2(\alpha + \beta)^2}$$

したがって、求める三角形 $PQD$ の最大面積 $S_2$ は

$$S_2 = \frac{1}{2} L h_{\text{max}}$$

$$S_2 = \frac{1}{2} (\beta - \alpha)\sqrt{1 + k^2(\alpha + \beta)^2} \cdot \frac{k(\beta - \alpha)^2}{4\sqrt{k^2(\alpha + \beta)^2 + 1}}$$

分母と分子の平方根部分が約分されるため

$$S_2 = \frac{k}{8}(\beta - \alpha)^3$$

解説

放物線と接線に関する典型的な問題である。 (1) で登場した「放物線上の2点における接線の交点の $x$ 座標は、2点の $x$ 座標の中点になる」という事実は頻出であるため、覚えておくと計算ミスを防ぐ手段となる。また、今回はベクトルによる面積公式を用いて直接計算したが、放物線と直線で囲まれる面積の $\frac{1}{6}$ 公式を利用し、アルキメデスの定理から面積を求めるアプローチも知られている。

(2) は図形的な意味を考えることで、計算量を減らすことができる。底辺を $PQ$ に固定したとき、高さが最大になるのは、直線 $PQ$ に平行な放物線の接線を考え、その接点として点 $D$ をとったときである。この接点の $x$ 座標は、微分係数が直線 $PQ$ の傾き $k(\alpha + \beta)$ と等しくなる点であるから $2kx = k(\alpha + \beta)$ より $x = \frac{\alpha + \beta}{2}$ と直ちに求めることも可能である。